3.4.1. Le modèle spatial avec autocorrélation des résidus

Le modèle spatial avec autocorrélation des résidus s’écrit :

avec E() = 0 et V() = 2()

Pour pouvoir estimer les paramètres , il faut estimer les quatre inconnues , 2, , . Avant de nous intéresser à cette estimation, nous allons supposer que  et  sont connus. Nous savons que le modèle est défini par :

avec

Dans ce cas, nous devons utiliser les moindres carrés généralisés avec la matrice de variance-covariance connue , nous obtenons une estimation du paramètre .

Lorsque  et  sont inconnus, nous devons recourir à la méthode du maximum de vraisemblance. La fonction de maximum de vraisemblance dans le cas d’un modèle spatial avec autocorrélation est formulée de la manière suivante :

avec w_i les valeurs propres de la matrice spatiale.

Pour pouvoir maximiser la fonction de vraisemblance afin d’obtenir une estimation des paramètres, nous devons suivre une procédure itérative en quatre étapes :

• 1ère étape : Il faut estimer les paramètres  à l’aide de la méthode des moindres carrés ordinaires, puis calculer les résidus.
• 2ème étape : Il faut ensuite déterminer
  
  par une maximisation d’une vraisemblance pour le modèle spatial autorégressif
  
  .
• 3ème étape : Il faut calculer un estimateur
  
  à partir de
  
  en utilisant les moindres carrés généralisés.
• 4ème étape : Il est nécessaire de recommencer les étapes 1 à 3 jusqu’à convergence du paramètre
  
  .

Ces quatre étapes conduisent à l’estimation des paramètres

du modèle spatial avec autocorrélation. Nous allons voir que l’estimation du modèle spatial autorégressif utilise la même méthode.