4.1.2. Le recours à l’estimation par la méthode des variables instrumentales

Les paramètres estimés et les t asymptotiques associés au modèle spatial autorégressif sont présentés dans le tableau 8.6 et le tableau 8.8. La différence entre ces deux tableaux est la méthode d’estimation utilisée. Le tableau 8.6 est l’estimation du modèle 5 dont les paramètres sont calculés en recourant à la méthode des variables instrumentales. Le tableau 8.8 donne la valeur des paramètres du modèle 6 estimé en utilisant la méthode des variables instrumentales dénommée Bootstrap. Ces deux tableaux regroupent l’estimation des modèles pour les différentes matrices spatiales retenues qui servent à calculer la variable autorégressive. Le pseudo R2 et le carré de corrélation sont retenus pour mesurer la qualité de l’ajustement.

Tableau 8.6 : Les paramètres estimés par la méthode des variables instrumentales
Modèle 5
W₁ W₂ W₃
Variables indépendantes Valeur du paramètre Valeur du t Valeur du paramètre Valeur du t Valeur du paramètre Valeur du t
W_LnPrix 0,379 4,97* 0,085 3,04* 0,193 2,27 *
CONSTANTE 3,667 3,83* 7,388 21,39* 5,914 5,38*
LNSURF 1,064 53,13* 1,074 52,40* 1,091 54,24*
TYPE 0,059 5,88* 0,065 6,27* 0,078 7,85*
FACADE -0,069 -3,47* -0,068 -3,35* -0,062 -2,96*
QUAI 0,104 1,96 * 0,113 2,10 * 0,147 2,69*
STATBI 0,067 3,37* 0,061 3,01* 0,061 2,94*
IBUS -0,177 -3,15* -0,196 -3,45* -0,210 -3,61***
METRO 0,075 2,04 * 0,085 2,27 * 0,101 2,65*
OUVR -0,008 -5,15* -0,009 -5,24* -0,009 -5,44*
DIST 0,151 2,47 0,164 2,65* 0,156 2,44

Pseudo R2 : 0,794
Carré de corrélation : 0,7945
Degré de liberté : 991

Pseudo R2 : 0,790
Carré de corrélation : 0,800
Degré de liberté : 991
Pseudo R2 : 0,789
Carré de corrélation : 0,788
Degré de liberté : 991
* significatif au seuil de 1 % ** significatif au seuil de 1,5 % * significatif au seuil de 5 %

Pour le modèle 5, les variables sont toutes significatives au seuil de 5 %. Mais par rapport au modèle 3 (MCO), la significativité des paramètres est souvent plus faible et la valeur des paramètres est modifiée. Pour certaines variables, les écarts sont plus importants. Ainsi, l’écart entre le modèle 3 et les estimations du modèle 5 s’élèvent à quelques pour-cent. L’omission de la variable autorégressive dans le modèle conduit généralement à une surestimation des coefficients estimés et de la valeur des tests de significativité.

Pour déterminer si la prise en compte de l’existence d’une variable autorégressive a permis de saisir complètement les effets spatiaux, il faudrait pouvoir recalculer les tests des effets spatiaux. Le logiciel ne permet pas de réaliser ce calcul. Pour obtenir une estimation de ces tests, nous avons calculé la valeur d’une nouvelle variable à expliquer qui correspond à la variable exogène précédente à laquelle nous avons retranché la variable autorégressive affectée de son coefficient. La méthode des moindres carrés ordinaires a été utilisée pour estimer un nouveau modèle. Les résidus de ce modèle sont utilisés pour déterminer les nouvelles valeurs des tests. Cette méthode n’est pas vraiment orthodoxe, mais elle permet néanmoins de donner une estimation de la valeur des tests.

Ces résultats sont à interpréter avec précaution puisque les résidus ne sont pas distribués selon une loi normale. L’introduction d’une variable autorégressive tend à diminuer la valeur des tests. Nous pouvons remarquer que le test
pour la matrice W₃ n’est plus significatif, alors que ce test demeure significatif pour les autres matrices.

Tableau 8.7 : Les tests des effets spatiaux après introduction d'une variable autorégressive (IV)
W₁ W₂ W₃
Valeur du test Valeur de p Valeur du test Valeur de p Valeur du test Valeur de p
Le test de Moran 13,94 0,00 11,92 0,00 7,33 0,00
Le test ML_ERR 168,28 0,00 135,09 0,00 30,93 0,00
Le test de Kelejian-Robinson 2,77 0,98 2,81 0,98 73,18 0,00
Le test
70,15 0,00 75,84 0,00 0,01 0,95

Le recours à la méthode de Bootstrap (modèle 6) pour estimer les paramètres du modèle spatial autorégressif conduit aux mêmes conséquences que pour l’estimation par la méthode des variables instrumentales. Ainsi les coefficients estimés et les valeurs du test asymptotique sont plus faibles que pour le modèle 3. La variable Quai n’est plus significative, même au seuil de 5 % dans le cas de l’utilisation de la matrice W₁. Pour les deux autres matrices, toutes les variables sont significatives. Dans le cas de l’estimation du modèle spatial autorégressif avec la matrice W₃, le paramètre de la variable autorégressive est significative au seuil de 1,5 % contre 5 % dans l’estimation par les variables instrumentales. Les autres variables sont significatives au moins au seuil de 1,5 %, voire souvent à 1 %.

Tableau 8.8 : Les paramètres estimés par la méthode de Bootstrap
Modèle 6
W₁ W₂ W₃
Variables indépendantes Valeur du paramètre Valeur du t Valeur du paramètre Valeur du t Valeur du paramètre Valeur du t
W_LnPrix 0,391 5,08* 0,087 3,18* 0,216 2,55
CONSTANTE 3,507 3,64* 7,358 21,87* 5,613 5,10*
LNSURF 1,064 52,06* 1,074 51,51* 1,091 54,10*
TYPE 0,059 5,71* 0,065 6,26* 0,078 7,80*
FACADE -0,069 -3,42* -0,067 -3,28* -0,061 -2,88***
QUAI 0,101 1,94 0,112 2,10 * 0,147 2,69*
STATBI 0,067 3,60* 0,061 3,19* 0,061 3,12*
IBUS -0,177 -3,17* -0,198 -3,48* -0,212 -3,61***
METRO 0,074 2,06 * 0,084 2,30 * 0,101 2,68*
OUVR -0,008 -5,14* -0,009 -5,24* -0,009 -5,13*
DIST 0,151 2,50 0,166 2,68* 0,157 2,50
Pseudo R2 : 0,794
Carré de corrélation : 0,789
Degré de liberté : 991
Pseudo R2 : 0,789
Carré de corrélation : 0,788
Degré de liberté : 991 Pseudo R2 : 0,793
Carré de corrélation : 0,785
Degré de liberté : 991
* significatif au seuil de 1 % ** significatif au seuil de 1,5 % * significatif au seuil de 5 %

Les valeurs des indicateurs de la qualité de l’ajustement sont très proches les unes des autres, autour de 0,79. L’observation des effets de l’introduction de la variable autorégressive n’est pas disponible pour cette méthode. Nous reprenons la même méthode que pour l’estimation avec les variables instrumentales. Les observations sont exactement les mêmes. Les valeurs des indicateurs sont plus faibles. La valeur de la probabilité pour le test
est égale à 0,88. Ceci conduit à accepter l’hypothèse nulle de présence d’effets résultant de l’omission d’une variable autorégressive.

Tableau 8.9 : Les tests des effets spatiaux après introduction d'une variable autorégressive (Bootstrap)
W₁ W₂ W₃
Valeur du test Valeur de p Valeur du test Valeur de p Valeur du test Valeur de p
Le test de Moran 14,05 0,00 11,94 0,00 7,30 0,00
Le test ML_ERR 171,01 0,00 135,46 0,00 30,71 0,00
Le test de
Kelejian-Robinson 2,78 0,98 2,81 0,98 74,62 0,00
Le test
72,23 0,00 74,28 0,00 0,02 0,88