4.2 Le cas des mathématiques

Il est intéressant de noter que ce type de problématique a pu être adapté à la didactique des mathématiques par Laborde (à paraître). Elle analyse le rôle des diagrammes en géométrie comme double : d’une part ils offrent à l’apprenant le support d’une activité perceptive (essentiellement visuelle) par leurs propriétés spatio-graphiques ; d’autre part ils renvoient à des objets théoriques que l’apprenant sait plus ou moins dotés de définitions, de théorèmes, d’énoncés ... On doit alors considérer que la figure constitue un référent empirique pour la théorie, un champ expérimental pour la géométrie. L’usage de logiciels de type micro-monde renforce ce parallélisme entre le rôle de la figure en géométrie et le rôle de l’expérience en physique, de deux façons :

• d’une part la déformabilité de la figure informatisée permet d’explorer plusieurs cas différents d’un point de vue spatio-graphique ;

• d’autre part et surtout, l’obéissance obligatoire des objets géométriques visibles sur l’écran à des propriétés théoriques fait que leur comportement échappe à l’utilisateur une fois qu’ils sont créés ; ils lui deviennent extérieurs, comme la lentille est extérieure à l’élève situé en classe de physique ; comme le dit Laborde ‘« tout se passe comme si ils réagissaient aux manipulations de l’utilisateur en suivant les lois de la géométrie de la même façon que les objets matériels réagissent en suivant les lois de la physique ».’

Ce qui apparaît sur l’écran de l’ordinateur est donc bien une matérialisation, la création d’une réalité extérieure à l’utilisateur. Mais c’est la matérialisation d’un modèle, de règles qui traduisent une théorie bien précise. Les événements qu’on peut faire advenir sur l’écran en déplaçant tel ou tel objet ne sont pas dus au hasard : ils ont une cause, que l’élève sait devoir chercher dans la théorie en question. Laborde l’exprime dans le cas de l’utilisation mathématique de Cabri-géomètre en disant : « ‘les invariants spatiaux dans les figures mobiles sont presque certainement la représentation d’invariants géométriques »’ ou bien ‘« l’invariance émerge des variations ». ’

Cette analyse permet à Laborde de définir deux niveaux dans les transcriptions des productions verbales des élèves : un niveau théorique et un niveau spatio-graphique, puis de segmenter le protocole en unités élémentaires classifiables en trois catégories : se référant au niveau spatio-graphique, se référant au niveau théorique, établissant un lien entre les deux.