3.5 Sur le type de contrôles utilisés sous Cabri-géomètre

Rolet (1996, p. 67 à 86), après avoir analysé l’usage du terme « contrôle » tant chez des psychologues cogniticiens (Hoc, Richard, Nguyen-Xuan) que chez des didacticiens des mathématiques (Grenier, Margolinas, Coppé, Schoenfeld), définit ainsi différents types de contrôles :

• Le contrôle perceptif simple n’utilise aucun autre instrument que les sens humains (la vue la plupart du temps, et en particulier dans le cadre de la thèse de Rolet, mais d’autres sens pourraient intervenir dans certains domaines de la physique) ‘« pour lire des propriétés, les prendre en compte dans une reproduction ou construction, tant dans l’exécution de la tâche que dans la validation du résultat »’ (p. 72).

• Le contrôle perceptif instrumenté ‘« utilise ... des instruments tels que calque, gabarit, papiers quadrillés ou règle, équerre, compas ... il présente un caractère volontaire : le sujet, en utilisant des instruments, « cherche à voir » et à introduire [dans son raisonnement] les propriétés qu’il a vues »’ (p. 74).

• Le contrôle théorique est celui dans lequel l’élève ‘« utilise des connaissances mathématiques pour prendre une décision, pour justifier ses actions et ses résultats. Les validations viennent de raisonnements, sont le fruit de preuves et de démonstrations »’ (p. 76).

Rolet analyse a priori la dialectique entre contrôle perceptif et contrôle théorique, et dégage les points suivants :

• Dans les « situations expérimentales » (i.e. où le type de contrôle n’est pas imposé par la tâche ou l’énoncé), ‘« le contrôle perceptif s’impose avec beaucoup de force, et il n’est pas facile de passer d’un type de contrôle à un autre »’ (p. 83).

• Dans les situations didactiques habituelles, où la tâche précise de façon plus ou moins explicite à quel contrôle l’élève doit avoir recours, on observe en général de fréquents et complexes aller-retours entre les deux types fondamentaux.

• Le contrôle perceptif apparaît à la fois comme utile (parce qu’il participe à la construction du signifié par le sujet, parce qu’il « permet d’induire et de vérifier certains résultats » p. 85) et insuffisant (parce qu’il peut faire intervenir des propriétés non pertinentes, et conduire par suite à une impasse).

• Le contrôle théorique ‘« devient nécessaire quand le contrôle perceptif ne suffit plus » ’(p. 86) mais son coût cognitif est tel que très souvent les élèves ne l’utilisent pas, même quand le contrôle perceptif les a conduit à une impasse.

Rolet a étudié précisément ce que deviennent les notions de contrôles perceptif et théorique dans l’environnement d’un logiciel tel que Cabri-géomètre (p. 87-104).

D’après elle, le contrôle perceptif simple est favorisé dans cet environnement pour la validation des résultats, dans la mesure où la facilité de tracé peut amener l’utilisateur à multiplier les tentatives et les essais-erreurs. Par contre dans la construction des figures, la nécessité de passer par les commandes du menu introduit inévitablement une part plus importante de contrôle théorique.

La possibilité de déplacer les points de base d’une figure fait de Cabri-géomètre un outil de contrôle instrumenté extrêmement riche. Cependant Rolet pointe bien deux limites à cette richesse, qui peuvent constituer autant d’obstacles à l’apprentissage :

• Si le déplacement (ou le nombre d’éléments de base déplacés) est insuffisant, le contrôle sera imparfait. Reprenons l’exemple des deux cercles sécants. Traçons le milieu des deux intersections, une droite passant par ces deux points, et une perpendiculaire à cette droite. Ajustons cette perpendiculaire de sorte qu’elle passe par le milieu des deux points. Si nous demandons au logiciel si les centres appartiennent à cette droite, il répond que non et c’est bien normal puisque cette droite n’a pas été construite comme la médiatrice. Pourtant visuellement les centres sont sur cette droite, et plus gravement, ils y restent dans tout déplacement qu’on fasse subir à un des centres. Cette manipulation très simple illustre l’idée que tout déplacement-preuve ne suffit pas à invalider une conjecture fausse ; plus particulièrement, un élève peut très bien faire une construction fautive et déplacer certains éléments de son dessin sans qu’un contrôle perceptif lui permette de déceler l’erreur.

• Si le déplacement est exhaustif et qu’aucun conflit ne se produit, le contrôle instrumenté sera pertinent, mais il aura tendance à dispenser l’élève de tout contrôle théorique, en raison même de son efficacité. Par contre bien sûr, si le contrôle instrumenté par Cabri détecte une incohérence avec ce qui est attendu par l’utilisateur, ce dernier sera peut-être poussé à chercher des raisons théoriques au problème, ou à passer au plan théorique pour en trouver la cause.

En tous cas, Rolet conclut que Cabri à lui seul ne suffit pas à tirer parti de toutes ces potentialités, et qu’une maîtrise particulière de la situation didactique est nécessaire (p. 104). Les résultats de son étude, qui portait sur la construction de deux figures à partir de leur énoncé par des stagiaires IUFM, montrent d’ailleurs que le passage du contrôle instrumenté au contrôle théorique est très difficile, en particulier parce que les sujets n’utilisent que très rarement les déplacements-preuves de manière exhaustive (p. 312).