a. Définition statistique du concept de trajectoire

Définition générale :

Considérons pour un individu donné une variable aléatoire dépendant du temps ou processus Y=(Yt)t ∈ T sur l’espace probabilisé (Ω,a, P), où Ω est l’univers des possibles, a une tribu de parties de Ω et P une application de a dans [0, 1]. ε un événement particulier de Ω.

Soit une fonction (t, ε) → Y(t, ε) de R+ *Ω alors

• pour t fixé l’état du système est une variable aléatoire Y(t, ε)

• pour ε fixé, c’est à dire pour une évolution particulière du système, les états successifs sont présentés par la fonction t → Y(t, ε) que l’on appelle trajectoire.

La différence entre trajectoire et variable aléatoire peut être illustrée à l’aide de la Figure 13: ε1,2,3 représentent trois trajectoires différentes tandis que Y1t, Y2t et Y3t désignent trois réalisations différentes d’une même variable aléatoire.

Figure 13 : Trajectoires et variables aléatoires

Cette première définition très générale peut faire l’objet de variantes selon en particulier que Y et t prennent leurs valeurs dans un espace discret ou continu. Nous considérerons pour notre part le cas particulier où Y et t sont discrets : t prend ses valeurs sur N tandis ; Y prend un nombre fini de valeurs. On parle alors d’espace d’états discret. Une nouvelle définition du concept de trajectoire peut alors être proposée.