a. Définition statistique du concept de trajectoire
Définition générale :
Considérons pour un individu donné une variable aléatoire dépendant du temps ou processus Y=(Yt)t
∈
T sur l’espace probabilisé (Ω,a, P), où Ω est l’univers des possibles, a une tribu de parties de Ω et P une application de a dans [0, 1]. ε un événement particulier de Ω.
Soit une fonction (t, ε) → Y(t, ε) de R+
*Ω alors
-
pour t fixé l’état du système est une variable aléatoire Y(t, ε)
-
pour ε fixé, c’est à dire pour une évolution particulière du système, les états successifs sont présentés par la fonction t → Y(t, ε) que l’on appelle trajectoire.
La différence entre trajectoire et variable aléatoire peut être illustrée à l’aide de la Figure 13: ε1,2,3 représentent trois trajectoires différentes tandis que Y1t, Y2t et Y3t désignent trois réalisations différentes d’une même variable aléatoire.
Figure 13 : Trajectoires et variables aléatoires
Cette première définition très générale peut faire l’objet de variantes selon en particulier que Y et t prennent leurs valeurs dans un espace discret ou continu. Nous considérerons pour notre part le cas particulier où Y et t sont discrets : t prend ses valeurs sur N tandis ; Y prend un nombre fini de valeurs. On parle alors d’espace d’états discret. Une nouvelle définition du concept de trajectoire peut alors être proposée.
a. Définition statistique du concept de trajectoire
Définition générale :
Considérons pour un individu donné une variable aléatoire dépendant du temps ou processus Y=(Yt)t ∈ T sur l’espace probabilisé (Ω,a, P), où Ω est l’univers des possibles, a une tribu de parties de Ω et P une application de a dans [0, 1]. ε un événement particulier de Ω.
Soit une fonction (t, ε) → Y(t, ε) de R+ *Ω alors
-
pour t fixé l’état du système est une variable aléatoire Y(t, ε)
-
pour ε fixé, c’est à dire pour une évolution particulière du système, les états successifs sont présentés par la fonction t → Y(t, ε) que l’on appelle trajectoire.
La différence entre trajectoire et variable aléatoire peut être illustrée à l’aide de la Figure 13: ε1,2,3 représentent trois trajectoires différentes tandis que Y1t, Y2t et Y3t désignent trois réalisations différentes d’une même variable aléatoire.
Cette première définition très générale peut faire l’objet de variantes selon en particulier que Y et t prennent leurs valeurs dans un espace discret ou continu. Nous considérerons pour notre part le cas particulier où Y et t sont discrets : t prend ses valeurs sur N tandis ; Y prend un nombre fini de valeurs. On parle alors d’espace d’états discret. Une nouvelle définition du concept de trajectoire peut alors être proposée.