a. Estimateurs du maximum de vraisemblance des probabilités de transition

Les estimateurs du maximum de vraisemblance des probabilités de transition à la date t sont égaux aux fréquences empiriques correspondantes et sont sans biais¹⁷⁶ :

Dans le cas particulier où la matrice de transition P(t) ne dépend pas de t alors P(t)=P, la chaîne de Markov est dite homogène. Il n’y a alors qu’une matrice de transition à estimer dont les éléments se présentent comme des moyennes pondérées des estimateurs obtenus dans le cas non homogène :

Dans le cas où l’ordre de la chaîne de Markov est supérieur à 1, alors, les estimateurs du maximum de vraisemblance sont calculés de manière identique (i.e. à l’aide des fréquences empiriques) à partir des données issues de la matrice de transition d’ordre p Pp(t) qui croise les séquences du type ei.ej ¹⁷⁷.