Dans le cas où les probabilités de transition sont constantes dans le temps (Pp(t)=Pp) la chaîne de Markov est dite homogène. Quel que soit son ordre p, et connaissant d’une part la matrice de transition d’ordre p Pp et d’autre part l’état initial du système ei en t, il est alors possible de calculer les probabilités pour que le système atteigne en t+n un état ej donné.
Si on note :
ξn le vecteur de dimension 1.Jp contenant les probabilités pour que le système soit dans chacun de ces états possibles en t ;
ξ0 est un vecteur de probabilités initiales connues;
alors : ξ’1=ξ’0Pp
ξ’2=ξ’1Pp=ξ’0P²p
ξ’n=ξ’0Pn p
où Pn p est la matrice de transition d’ordre p multipliée n fois par elle-même.
Connaissant l’état initial ei du processus et la matrice de transition P, il ainsi possible de prévoir l’état final du système après n épreuves en multipliant la matrice de transition P par elle-même n fois.
C’est alors qu’interviennent les propriétés qui ont été présentées précédemment. Lorsque n augmente et dans les cas particuliers où la chaîne de Markov est régulière204 (ce qui semble a priori être le cas pour nous) alors la probabilité pour que le système passe de l’état ei à l’état ej en n épreuves tend vers une loi stable unique 205 appelée loi limite ξ* indépendante de l’état initial ej considéré. Cette loi correspond à la limite de Pn quand n augmente. La détermination de cette distribution limite se fait en diagonalisant la matrice de transition. Appliquée à l’étude des comportements innovants cette propriété signifie que quelle que soit la situation technologique initiale des firmes et lorsque l’horizon temporel considéré est suffisamment lointain, alors, à terme, toutes les firmes ont les mêmes probabilités de se localiser dans un espace technologique donné ! Cette propriété remarquable signifie que l’impact du passé se dilue dans le temps dès lors qu’il n’existe pas d’irréversibilité totale ni de périodicité, deux hypothèses qui semblent vraisemblables dans le cadre de l’étude des comportements d’innovations de produits et de procédés.
Une chaîne de Markov à nombre fini d’états est dite régulière si elle est formée d’une seule classe irréductible et non périodique.
Un vecteur de probabilité noté ξ’ est appelé loi stable du système si
Dans le cas d’une chaîne de Markov à nombre fini d’état comportant une seule classe finale et éventuellement un état transitoire alors il existe forcément une loi stable et unique indépendante des conditions initiales ξ=(ξ1, .., ξm) dans laquelle les ξe correspondent à l’inverse des espérances de retour de chacun des états considérés .