b. Attributs statistiques des matrices de transition

Si les considérations d’ordre mathématique permettent de mettre en évidence certaines des propriétés fondamentales des états et plus généralement des matrices de transition, elles ne permettent pas de quantifier avec précision l’intensité globale des relations entre les états successifs de la chaîne de Markov. Un certain nombre d’outils statistiques ont en revanche été explicitement développés pour aborder ces problèmes. Ils se regroupent sous le label très général de ’mesures d’association entre variables qualitatives’ (Agresti [1990], Andersen [1997]).

Dans l’hypothèse où il n’existerait aucune dépendance entre les réalisations successives de Y alors les J vecteurs ligne formant la matrice de transition seraient tous égaux: P1j=P2j=...=Pij pour tout j. Ce sont les écarts entre les profils ligne qui nous renseignent donc sur l’intensité de la dépendance entre les différents états successifs de Y et donc sur l’intensité des trajectoires sous-jacentes.

Habituellement l’étude de l’indépendance entre variables qualitatives ne se fait pas à partir des matrices de transition mais à partir des tableaux de contingence qui permettent de pondérer chaque ligne en fonction de l’effectif qui y est présent. On suppose un tableau de contingence N quelconque comportant I lignes et J colonnes et d’effectif n. Les tests habituellement utilisés pour étudier l’indépendance sont le Chi² et le V de Cramer.

• Le Chi² se définit comme :

• Le V de Cramer se définit comme :

Ces deux tests ont cependant pour inconvénient d’être symétriques en ce sens qu’ils ne tiennent pas compte de la causalité explicitement présente entre les lignes et les colonnes lorsqu’on étudie une chaîne de Markov. Nous préférerons donc au Chi² et au V de Cramer l’emploi de mesures d’associations asymétriques telles que le λ et le τ de Goodman & Kruskal ainsi que le u de Theil.

• Le λ de Goodman & Kruskal se définit comme :

Cet indicateur prend la valeur 0 dès que l’effectif maximal de chaque ligne se concentre dans la même colonne. Son emploi est donc difficile.

• Le τ de Goodman & Kruskal se définit comme :

• Le u de Theil se définit comme :