3. La forme de Bussière

Bussière raisonne non pas sur les densités de population mais sur la population cumulée, P(x), dont la forme est la suivante :

La méthode d’estimation diffère de celle retenue pour la fonction exponentielle négative. Compte tenu de sa forme, l’ajustement se fait par une méthode itérative d’optimisation qui permet de déterminer les deux paramètres D0 et γ.

La population des communes des communes est agrégée par pas de distance au centre de 500 mètres. Un pas inférieur, de l’ordre de 250 mètres, ne serait pas systématiquement renseigné faute de communes. Un pas supérieur de l’ordre de 1 000 mètres, les cumuls sont plus grossiers et conduisent à une perte de qualité d’ajustement.

Plusieurs commentaires sont envisageables sur la base de ces estimations.

Les valeurs obtenues tant pour la densité centrale estimée que pour le gradient de densité en valeur absolue diminuent dans le temps, correspondant bien aux deux composantes de l’évolution de ces configurations : diminution de la population résidant au centre et dispersion de celle-ci en périphérie. La baisse des densités centrales estimées obtenues avec la forme de Bussière ne se retrouve pas sur la base des estimations sur les densités, pour lesquelles nous avions une tendance à la hausse. Contrairement aux résultats obtenus sur les densités, l’étalement urbain est manifeste au cours de la période 1975-1982 avec des taux de variation de gradient négatifs. La variation du gradient est plus ample que celle enregistrée pour la période ultérieure.

Les gradients moyens comme les densités centrales pour l’ensemble des aires urbaines sont significativement supérieurs à ceux obtenus sur la base des estimations retenant les densités.

Les spécificités des gradients et des densités centrales estimées selon la taille des aires urbaines mises à jour au niveau de la forme fonctionnelle sur les densités se retrouvent en grande partie pour les estimations privilégiant la population cumulée.

La relation croissante entre taille des aires urbaines et densité centrale estimée reste valable (Tableau 4.12). Plus les aires sont peuplées, plus la densité centrale moyenne est importante.

A contrario, les taux de variation de ces densités estimées sur les deux périodes ont un sens de variation opposé. Avec les estimations retenant la population cumulée, les variations sont décroissantes. Cette diminution est particulièrement significative sur les aires urbaines de taille intermédiaire. Comme précédemment mais à la baisse cette fois, on note une convergence des taux de variation entre les différentes aires urbaines sur les deux périodes.

Pour les gradients moyens de densité, la relation décroissante entre niveau du gradient et taille de l’aire urbaine est également observée au niveau de ces estimations. Les gradients diminuent à mesure que l’aire urbaine est peuplée. Les grandes aires urbaines seraient davantage étalées que les petites. On note comme précédemment une exception à cette observation les aires dont la population est comprise entre 50 000 et 100 000 habitants.

La tendance à la dispersion des populations est particulièrement manifeste pour les aires urbaines de grande taille (>500 000 hab.) et de taille intermédiaire (150 000 – 300 000 hab.) pour lesquels les taux de variation des gradients à la baisse sont les plus élevés.

La qualité d’ajustement est relativement proche selon la taille des aires urbaines.

Les R² sont très bons et même meilleurs que ceux obtenus dans le cadre de l’exponentielle sur les densités. Il est possible de les améliorer en lissant la courbe de la population cumulée par la ventilation de la population de communes importantes sur plusieurs pas de distance, en particulier celle de la commune centre.

Cependant quelle que soit la méthode de répartition de la population, cette bonne performance est imputable à la construction de la variable explicative qui correspond au cumul de valeurs qui se suivent. La sommation des valeurs successives en fonction de la distance au centre équivaut à réduire la dispersion du nuage de points. A chaque pas de distance correspond une et une seule valeur.

Pour confronter les résultats entre ces deux méthodes d’estimation, l’une fondée sur les densités, l’autre sur la population cumulée, il est nécessaire en conséquence d’ajuster la fonction exponentielle sur la base de surface et de population agrégée par pas de distance pour déterminer des densités moyennes, comme cela est fait pour l’estimation de l’exponentielle sur la base de la population cumulée. Les résultats suivant cette méthode d’estimation sont présentés dans leTableau 4.14.

Les résultats de l’ajustement de la fonction exponentielle négative sur ces densités calculées et agrégées par pas de distance sont améliorés par rapport aux précédents résultats de la même fonction mais déterminée sur la base des différentes densités communales en fonction de la distance au centre. Cette amélioration porte principalement sur le R² plus que sur les T de Student. Les densités centrales estimées adoptent la même tendance d’évolution à la hausse que celles obtenues avec une estimation exponentielle négative sur densités. Le gradient en revanche est orienté à la baisse sur la période comme cela apparaît dans le cadre de l’estimation sur la population cumulée.

Dans l’estimation de la forme fonctionnelle proposée par Bussière proposée, il apparaît également que les résidus de cet ajustement, ordonnés suivant la distance, traduisent un phénomène d’autocorrélation. Si l’on considère que l’ensemble des points de l’espace sont ramenés à une succession de points ordonnés dans l’espace comme les dates le sont dans des séries temporelles, le test de Durbin-Watson utilisé pour ces séries chronologiques offre alors une première mesure de cette autocorrélation. Les valeurs de ce test sont proches de 0,2 et confirment la diagnostic réalisé sur la base des graphiques (Greaphique 4.6).

Enfin, la méthode d’estimation fondée sur une recherche itérative d’optimisation pour déterminer les deux paramètres D0 et γ est très sensible aux valeurs d’initialisation retenues.

Outre la forme exponentielle négative sur les densités et sur la population cumulée, la littérature, comme nous l’avons mentionné dans le chapitre sur l’état de l’art envisage d’autres formes fonctionnelles, qui offrent sur les cas retenus généralement de meilleurs résultats d’estimation. Il n’est alors pas inintéressant d’envisager un comparatif entre des aires urbaines françaises. Les formes fonctionnelles proposées sont nombreuses et diverses. Parmi celles-ci nous retiendrons la forme Log normal pour laquelle nous procéderons à des estimations.