4. La Forme log normale

La fonction Log normale a été moins retenue pour l’étude des configurations spatiales. Elle vise cependant à apprécier les phénomènes de déconcentration spatiale doublés de l’existence de pics de densité qui ne se situent pas au centre même mais dans la proche couronne. Cette irrégularité dans la répartition des densités dans l’espace se manifeste par des « cratères » dans la partie centrale au niveau de la courbe de représentation des densités. La forme estimée comprend désormais trois paramètres, D o, la densité centrale estimée, γ et β. γ correspond au rapport du log de la distance où les densités sont les plus importantes et du degré de dispersion. β est inversement proportionnel au carré de la dispersion.

Tableau 4.15 : Résultats des estimations de la fonction Log Normale
Nom des aires urbaines	1975					1982					1990
	Log D o	γ ln x	β (lnx)²	R²	Log D o		γ ln x	β (lnx)²	R²	Log D o		γ ln x	β (lnx)²	R²
PARIS	9,07 (14,1)	-1,74 (-4,3)	-0,19 (-3,0)	0,72	8,34 (13,0)		-1,28 (-3,2)	-0,24 (-3,9)	0,71	7,96 (12,6)		-1,04 (-2,6)	-0,27 (-4,35)	0,70
LYON	5,00 (6,49)	-1,4 (-2,34)	-0,73 (-0,63)	0,50	4,88 (6,52)		-1,24 (-2,15)	-0,83 (-0,74)	0,49	4,82 (6,70)		-1,1 (-2,08)	-0,80 (0,74)	0,48
MARSEILLE-AIX-EN-PROVENCE	2,72 (2,53)	-0,22 (-0,25)	-0,23 (-1,22)	0,32	2,67 (0,15)		0,87 (0,01)	-0,28 (-1,34)	0,28	2,67 (2,58)		0,15 (0,18)	-0,29 (-1,56)	0,28
LILLE	5,23 (7,33)	-1,28 (-1,96)	-0,10 (-0,69)	0,51	5,04 (7,54)		-1,05 (-1,70)	-0,15 (-1,04)	0,53	5,04 (7,89)		-1,03 (-1,75)	-0,14 (-1,01)	0,53
BORDEAUX	3,56 (4,53)	-0,29 (-0,48)	-0,32 (-2,59)	0,55	3,35 (4,63)		0,43 (0,08)	-0,37 (-3,40)	0,59	3,34 (4,81)		0,17 (0,31)	-0,40 (-3,75)	0,61
TOULOUSE	3,26	-1,21	-0,18	0,49	3,00		-0,65	-0,15	0,52	3,10		-0,45	-0,20	0,53
	(6,03)	(-2,95)	(-0,24)		(5,39)		(-1,53)	(-1,84)		(5,40)		(-1,02)	(-2,43)
NANTES	3,87	-0,50	-0,30	0,60	3,80		-0,27	-0,34	0,62	3,80		-0,19	-0,35	0,62
	(5,49)	(-0,83)	(-2,16)		(5,84)		(-0,49)	(-2,63)		(5,92)		(-0,34)	(-2,77)
NICE	2,23	0,64	-0,65	0,66	2,33		0,74	-0,67	0,69	2,38		0,88	-0,70	0,69
	(2,16)	(0,74)	(-3,61)		(2,36)		(0,89)	(-3,88)		(2,49)		(1,11)	(-4,17)
STRASBOURG	3,37	-0,79	-0,10	0,52	3,41		-0,68	-0,13	0,53	3,45		-0,55	-0,17	0,53
	(10,11)	(-2,76)	(-1,45)		(10,26)		(-2,39)	(-1,86)		(10,20)		(-1,90)	(-2,35)
GRENOBLE	5,25	-2,64	0,20	0,42	5,08		-2,35	0,15	0,43	5,02		-2,22	0,14	0,42
	(4,89)	(-2,84)	(0,98)		(5,08)		(-2,72)	(0,81)		(5,14)		(-2,64)	(0,77)
T de Student entre parenthèses

A partir des résultats de ces estimations, il est possible de noter :

Saisi sur la base du coefficient de détermination, il apparaît que la fonction log normale offre un meilleur résultat que la fonction exponentielle sur les densités.
Le coefficient de la constante relative à la densité centrale estimée est plus élevé et plus dispersé avec l’ajustement de la forme log normal que celui réalisé avec l’exponentielle négative. L’amplitude des densités s’accroît de 10 à 2 864 hab./ha.
La baisse des densités centrales observée sur la base des recensements se retrouve au niveau des densités centrales estimées dans la forme log normale, ce qui n’était pas le cas dans l’estimation de la fonction exponentielle négative.
Le coefficient du carré du log de la distance est négatif pour toutes les aires urbaines. Il signifie que la convexité de la relation distance densité n’est pas uniforme. Certaines communes situées en périphérie ont des densités de population relativement élevées.
- Le centre ne perd cependant pas toute influence. Le maximum de densité observée se situe dans des communes centrales. Le maximum de densité correspond à une distance telle que xpoint= .

Tableau 4.16 : distance estimée au centre des pics de densité
Nom des aires urbaines	1975	1990
PARIS	0,010	0,146
LYON	0,383	0,503
MARSEILLE-AIX-EN-PROVENCE	0,620	1,295
LILLE	0,002	0,025
BORDEAUX	0,636	1,237
TOULOUSE	0,035	0,325
NANTES	0,435	0,762
NICE	1,636	1,875
STRASBOURG	0,019	0,198
GRENOBLE	NS	NS

Ce schéma hybride au niveau des aires urbaines (poids de la commune centre plus diffus relatif à certaines communes en périphérie) n’est pas vérifiée si l’on retient un périmètre plus vaste où la commune centre retrouve sa suprématie par la minoration du poids des communes situées en périphérie et qui ont pourtant des densités plus fortes que la moyenne, excepté pour Lille (Jayet (1999) avec des résultats obtenus sur 100 km).

D’autres formes fonctionnelles sont également identifiées dans la littérature dont nous présenterons les résultats dans le prochain développement.