3.3.2.1 Le modèle spatial autorégressif (SAR)

Avant de présenter le modèle spatial autorégressif, nous ferons état du processus autorégressif spatial

Il s’écrit :

avec

y le vecteur colonne contenant les valeurs de la variable endogène

W la matrice des effets d’autorégression spatiale

l la matrice unité

V la matrice diagonale

ε le vecteur des résidus indépendants, non nécessairement homoscédastiques :

E(ε)=0 et V(ε)=σ2V

Les moments de y sont :

E(y)=0

V(y)=σ2Ω où Ω=[(1-W)V-1(1-W’)]-1

Dans de nombreux cas, la matrice des effets d’autorégression est une combinaison linéaire des matrices de contiguïté d’ordre 1 à k. On parle alors de SAR (k):

Le modèle linéaire spatial avec autorégression (SAR) est de la forme  :

où

y le vecteur colonne contenant les valeurs de la variable endogène

W la matrice des effets d’autorégression spatiale

ρ le coefficient autorégressif spatial

Xla matrice des variables explicatives

La présence d’un décalage spatial est de même nature que l’introduction de variables endogènes dans un système d’équations simultanées.

Les matrices des effets d’autorégression W dépendent d’un vecteur de paramètres. Généralement, les composantes de ρWsont des fonctions croissantes de ρ telles que W(ρ)=0. La valeur de ρ peut être interprétée comme la mesure de l’autorégression spatiale.

L’hypothèse nulle de l’absence d’autocorrélation correspond à :

H0 : ρ=0

L’équation (43) peut aussi s’écrire :

(1-W(ρ))y=Xβ+ε

ε le vecteur des résidus indépendants, non nécessairement homoscédastiques :

E(ε)=0 et V(ε)=σ2V

Les moments de y sont :

E(y)=0

V(y)=σ2Ω où Ω=[(1-W)V-1(1-W’)]-1

Le recours à un modèle autorégressif peut avoir deux significations :

Dans un cas, on considère que l’introduction de Wy aux cotés d’autres variables explicatives est un moyen d’apprécier le degré de dépendance spatiale alors que les autres variables sont contrôlées. Le principal intérêt réside dans l’évaluation de l’effet spatial.

Dans l’autre cas, on contrôle la dépendance spatiale et on évalue l’impact des autres variables explicatives.

Toutes les statistiques inférentielles obtenues suivant le maximum de vraisemblance repose sur des considérations asymptotiques. Cela n’est pas rempli pour des échantillons de petite taille. La variance de la matrice asymptotique donne des résultats surestimés. Des corrections de ces estimations ont été proposées dans la littérature pour des échantillons de petite taille. Mais cela n’a pas été intégré pour les SAR.