422. Les modèles de choix multinomiaux

Ce paragraphe concerne le cas général où il y a un ensemble de choix, C n, qui peut consister en plus de deux alternatives. Dans de tels cas, la dérivation de modèles de choix appropriés aux méthodes d’estimation devient considérablement plus complexe que pour l’analyse des choix binaires. En particulier, il n’est pas suffisant de spécifier la distribution univariée de la différence des aléas ε jn - ε in. En effet, il faut considérer la distribution jointe complète des aléas. On suppose, pour que le problème puisse être étudié que l’analyste peut définir un ensemble C qui inclut tous les choix potentiels pour la population. C est l’ensemble universel des choix et J l’ensemble des éléments de celui-ci. Pour chaque individu, on peut considérer qu’il existe un ensemble de choix C n qui peut être plus petit.

Etant donné que chaque individu a un ensemble de choix possibles noté C n, on définit J n ≤ J le nombre de choix possibles. Suivant le développement de la théorie de l’utilité aléatoire, la probabilité qu’un élément i dans C n soit choisi par le décideur n est donnée par :

Un modèle multinomial de choix peut être dérivé étant donné les hypothèses spécifiques de la distribution jointe des aléas.

Une manière d’exprimer P n (i) est de réduire le problème du choix multinomial à celui d’une problème binaire. Pour ce faire, notons que la condition :

est en fait équivalent à :

Ainsi, nous pouvons créer ce qui est en fait une alternative « composite » comprenant tous les éléments dans C n autres i, et utilisons l’utilité de la meilleure alternative de ce composite afin de représenter le composite entier. Si U in excède l’utilité de l’alternative composite, alors i est choisie, sinon, elle ne l’est pas. Ainsi,

Deux modèles multinomiaux sont fréquemment utilisés : le modèle logit et le modèle probit.