132. Maximisation de l’entropie sous contraintes

D’après ce qui précède, la distribution qui a le plus de chance d’être observée en pratique n’est pas donnée par une diffusion uniforme des flux à l’intérieur du système car le degré de désordre de cette distribution est limité par l’introduction de contraintes dans le processus de maximisation de l’entropie. Le système se trouve dans une situation intermédiaire entre les hypothèses extrêmes de contraintes maximale et minimale. Wilson propose de formaliser trois contraintes :

• la contrainte d’origine T ij = O i, qui signifie que le nombre total de personnes qui se déplacent à partir d’une zone donnée ne doit évidemment pas excéder le nombre de ses résidents.
• la contrainte en destination T ij = Dj, qui pose que le nombre total de personnes se déplaçant dans une zone donnée ne peut excéder la capacité d’accueil de cette zone.

• la contrainte de coût somi somj cijTij = cbarre, pour laquelle l’ensemble des déplacements doit être réalisé à l’intérieur d’une enveloppe budgétaire globalement donnée.

La solution analytique au problème, à savoir la valeur des T ij, s’obtient en maximisant la fonction d’entropie sous les trois contraintes qui fournissent l’information sur le macro-état du système. On construit le Lagrangien L :

On pose,

et

par substitution on obtient :

et

En remplaçant e - λ i et e- μ j par leur expression dans T ij on obtient la spécification du modèle gravitaire :

a i et b j s’apparentent, en quelque sorte, à des poids moléculaires associés aux masses O i et D j (Fustier, 1988).