2. Principes des solutions

Le principe de base est attribué à Bellman : décrivant un plus court chemin par {s0,...,sk,sk+1,...,sm}la liste des extrémités terminales des arcs le composant, alors tout chemin extrait {si,si+1,...,sj}est un plus court chemin entre les noeuds si et sj.

Les algorithmes visent tous à améliorer progressivement la connaissance des longueurs minimales d’accès aux différentes noeuds du réseau depuis le sommet d’origine. L’amélioration se mesure en suivant l’évolution d’une fonction LAMC « longueur d’accès minimale connue », définie pour chaque noeud du réseau.

L’état initial de la recherche est défini par

• LAMC(r) = 0 où r note le noeud d’origine,

• LAMC(i) = +∞ où i note tout autre noeud que r.

La condition de stabilité d’un état intermédiaire, autrement dit la condition de finalité d’un état, notant 1a la longueur de l’arc a, s’écrit

LAMC(Ba) + 1a ≥ LAMC(Ea) quel que soit l’arc du réseau.

où Ea est l’extrémité terminale des arcs de A.

Cela signifie qu’on ne peut améliorer le temps (synonyme ici de la longueur) d’accès à l’extrémité terminale de l’arc en modifiant le moyen d’accès à son extrémité initiale.

Le passage d’un état intermédiaire à un autre consiste à tenter de faire décroître certaines LAMC(i) : examinant un arc a du réseau, si LAMC(Ba) + 1a ≥ LAMC(Ea) alors on définit un nouveau moyen d’accès au noeud qui détermine l’arc, ainsi que de nouvelles possibilités de parcours qu’on intègre dans une liste d’attente qui sert à définir les prochains arcs à examiner.