2.1 Les principes d’une guerre d’usure ?

Dans un jeu de durée, la stratégie des joueurs porte uniquement sur le moment où les joueurs choisiront d’arrêter le jeu. L’objectif de ce jeu est de fixer t*, la date à laquelle le jeu finira et quel joueur y mettra fin.

t = min.t|zi t = au moins un des joueurs choisit d’arrêter

• t : la date

• i: le joueur

• z i t : le choix de l’action, z i t ∈ Z i (t) = {arrêter, continuer}

Si aucun des joueurs ne met fin au jeu, alors t = ∞ . Lorsque le joueur i arrête le jeu à la période t, il est appelé leader et sa fonction de paiement est L i (t) . Son adversaire, le joueur j, est appelé follower et reçoit F j (t) . Lorsque les deux joueurs arrêtent le jeu en même temps, ils reçoivent B j (t).

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Quelle que soit la décision prise par les joueurs, si la grève s’éternise, il n’y a plus d’avantage à être follower, les paiements étant identiques et faibles pour tous les joueurs.

Le modèle de guerre d’usure est un jeu de durée. Il a été analysé en temps discret par Maynard-Smith (1974). L’auteur retrace la compétition à laquelle se livrent deux animaux pour posséder un bien unique (par exemple, la domination d’un territoire). La valeur du bien est v quelle que soit la période t, le facteur d’escompte par période est δ, et le coût du conflit par période est 1.

Les fonctions de paiement dans un jeu symétrique en temps discret sont définies comme suit :

Le leader, l’animal qui cède, gagne

Et le gain de son adversaire est

Si les deux animaux abandonnent le jeu en même temps, alors leurs gains seront : B 1 (t) = B 2 (t) = B j (t) ∀ j ∈ {1,2}

Ce jeu comporte de multiples équilibres de Nash, mais il existe un équilibre symétrique unique qui est stationnaire. Cet équilibre implique des stratégies mixtes.

Soit p la probabilité qu’un joueur arrête le jeu en t quel que soit t, sachant que l’autre n’a pas cédé avant t. L’équilibre de ce jeu symétrique stationnaire est défini par l’égalisation des paiements obtenus suite à un arrêt du jeu et de la somme des paiements obtenus si l’adversaire cède en t, et ceux correspondant à un différé d’une période de la décision d’arrêt du jeu, soit L(t) = pF(t) + (1-p)L(t+1).

Le gain attendu d’une période de conflit supplémentaire est pv alors que son coût est (1-p). L’égalisation du coût et du gain attendu décrit la probabilité d’équilibre c’est-à-dire la durée espérée du jeu . p* converge vers 0 quand t* tend vers l’infini.

La reformulation de ce jeu en temps continu est aisée : il faut pour cela supposer que le taux d’escompte δ est remplacé par exp(-rt), avec r le taux d’intérêt.

Si G i (t) est la probabilité que le joueur i arrête le jeu avant ou à la période t, G est un équilibre symétrique stationnaire si et seulement si, à n’importe quel moment du jeu, le joueur est indifférent entre arrêter à la date t ou continuer le jeu pendant ε, avec ε petit, pour voir si l’autre joueur cédera le premier. Le coût marginal supporté par un différé de la décision à la date (t+ ε ) est ε et le gain attendu de ce différé est vdG, ce qui correspond à . Si la distribution de G est exponentielle, alors G*, la probabilité d’équilibre à durée espérée du jeu, est .

Il est possible de montrer que si Δ est la durée de chaque période en temps discret, l’équilibre de temps discret tend vers l’équilibre symétrique en temps continu quand Δ tend vers zéro.

Une représentation possible du jeu de Maynard-Smith (1974) est la suivante :

Graphique 1 : les stratégies en guerre d’usure

Plus généralement, les jeux qui décrivent les conditions suivantes peuvent être considérés comme des guerres d’usure stationnaires pour tout t :

Si l’adversaire du joueur i s’arrête le premier, alors le joueur i préfère que son adversaire prenne cette décision le plus tôt possible F i (t) > F i ( τ ) pour tout τ  > t ;

Chaque joueur préfère que son adversaire cède le premier plutôt que d’avoir à céder à n’importe quelle période ultérieure F i (t) > L i ( τ ) pour tout τ  > t ;

Quand un joueur cède, il est indifférent au fait que son partenaire décide alors de céder F i (t) > B i (t) ;

La pérennisation du conflit est si coûteuse que les joueurs préfèrent céder immédiatement plutôt que de supporter un conflit infiniment long Li(0) > Li(∞) ;

Si le conflit est infiniment long, le gain à être follower disparaît Fi(∞) = Li(∞).