a- Examen des paramètres liés aux facteurs : valeurs propres, contribution des objets

La première tâche qui incombe au statisticien est l’examen des valeurs propres des facteurs. L’inertie totale du nuage – somme des valeurs propres des facteurs qui la décomposent – est égale, en ACM, au nombre moyen de modalités (rapport modalités / variables) diminué de 1.

L’inertie totale du nuage de points est donc, dans le cas présent, égal à 2,92 - 1 = 1,92.

« ‘En pratique, on observe que les valeurs propres sont faiblement et régulièrement décroissantes : l’allure générale de ’l’histogramme’ des valeurs propres est rarement suggestive en ACM’ » (Escofier B., Pagès J., 1998, p. 253). On notera grâce au tableau ci-contre que notre analyse nous situe dans ce cas de figure classique ; nous n’avons donc pas affaire à un cas particulier, du point de vue des facteurs et de leur structuration.

On observe cependant que le premier facteur a une valeur propre assez élevée, épuisant à lui seul 1/5 ème de l’inertie totale du nuage, plus de la moitié de celle-ci étant restituée par les quatre premiers axes factoriels (54,76 %). On devra donc accorder une grande importance à l’étude de ces quatre facteurs.

Avant de passer à l’interprétation proprement dite, il nous faut encore nous intéresser à la contribution des objets individus et modalités à l’inertie des facteurs.

En ACM, de même qu’en ACP, on doit chercher à identifier d’éventuels éléments prépondérants dans la construction des facteurs. Les individus sont les premiers objets dont on examine les contributions, afin de vérifier si un axe n’est pas le résultat d’un très petit nombre de modalités partagées par très peu d’individus... facteur qui dans ce cas ne présenterait peut-être pas un grand intérêt. Sachant que « l’interprétation [d’un] axe, c’est-à-dire la propriété générale qu’il met en évidence, est très liée aux modalités dont les contributions relatives sont élevées » (Foucart T., 1997, p. 163), on se doit d’être attentif aux couples (individus, modalités) pour lesquels les contributions sont élevées et une corrélation réelle existe.

S’impose alors l’étude comparative des tableaux synthétiques présentant, facteur par facteur, les contributions des individus et des modalités, éventuellement groupées par variables.

Examinons de tels tableaux (page suivante) rendant compte des contributions cumulées des modalités par variables et groupes de variables – « la contribution relative d’une [variable] à l’axe est la somme des contributions relatives de ses modalités » (Rouanet H., Le Roux B., 1993, p. 268). On y remarque quelques effets sur les premiers facteurs :

1. Le facteur 2 est déterminé à 38,1 % par deux individus : 38-CHA et 38-SEY. On remarque que la variable Mo-ESP : espaces extérieurs, fait partie des 4 variables dont les contributions sont les plus élevées, et particulièrement la modalité PEi : espace extérieur inaccessible... caractère que seuls présentent les individus considérés. Dans l’analyse il s’agira donc d’être prudent quant à l’interprétation du facteur 2 à partir de ce couple (38-CHA, 38-SEY ; PEi), qui devient prépondérant dans le calcul du seul fait de sa singularité dans le corpus.

2. Pour ce qui est du facteur 3, l’individu 42-SJB présente une contribution très élevée, de l’ordre de 35,1 %, qui repose sur deux modalités que seul cet individu possède : To15 (contribution de 6,5 %) et Nu2 contribution de 6,5 %), modalités épuisant chacune près de 85 % de la contribution de leurs variables respectives : Si-TAU et Mo-NBU. Le cas très particulier de 42-SJB devra alors retenir notre attention.

Avant de passer à l’interprétation des facteurs, en appui sur ces paramètres, et par le biais des graphiques factoriels, nous devons nous arrêter quelques instants sur une classe d’objets que nous n’avons abordée qu’indirectement : celle des variables. En effet, l’ACM ne traite pas les variables, mais leurs modalités. Par contre, les données sur lesquelles se fondent ses calculs, et les paramètres d’interprétation qu’elle nous fournit, permet d’approcher cette classe d’objets.

Partant du fait qu’ « en sommant pour le facteur de rang s les contributions des modalités d’une même variable, on obtient la contribution de la variable à ce facteur [...], on peut sélectionner les variables les plus liées à un facteur, c’est-à-dire celles sur lesquelles l’interprétation pourra s’appuyer de façon privilégiée » (Escofier B., Pagès J., 1998, p. 254). Tel est l’objet du tableau précédent qui, de plus, fournit la contribution cumulée par groupe de variables.

On note ainsi que le facteur 1 est en grande partie déterminé par les variables surfaciques dont la contribution est de 47, 2 %... groupe qui contribue presque 4 fois moins à l’inertie du facteur 3 (13,8 %) qu’à celle du premier. De même, le tableau montre que les caractères morphologiques ont un poids prédominant dans la construction du facteur 7 (contribution de 62,9 %). Cependant, celui-ci rend mieux compte de la morphologie générale du bâtiment (Mo-BAT, MO-PMA, MO-NBU, MO-LIE à forte contribution) que de celle des unités, pour lesquels les facteurs 2 et 4 s’avèrent plus pertinent à interpréter (contribution importante des variables Mo-UNI et Mo-MOR). Par contre, nous intéresser aux propriétés surfaciques de ces mêmes unités nous amènera à considérer le facteur 5 (Su-SUM : 17,9 %).

L’étude de ce tableau nous fournit donc de précieuses pistes de travail, mais aussi des paramètres d’aide à l’interprétation sur lesquels nous reviendrons. Passons maintenant à l’étude même des facteurs et plans factoriels.

Interprétation du premier plan factoriel : mise en évidence d’un effet Guttman

Les variables surfaciques et le caractère de compacité prédominants : Nous venons de le voir, les variables surfaciques contribuent pour 47,2 % à l’inertie du premier facteur. Si l’on y ajoute la variable Mo-COM, dont la contribution à F1 est la plus élevée (8,8 %), on obtient plus de la moitié de l’inertie du facteur (56,6 %) avec seulement moins du tiers des variables et des modalités du protocole.

La projection du seul nuage des points-individus sur le premier plan factoriel (F1, F2 : 33,2 % de l’inertie totale) montre d’assez fortes disparités. Du côté des valeurs positives extrêmes sur F1, on retrouve les individus que l’ACP de l’étude morphométrique désignait comme les plus compacts. Ils s’avèrent être aussi déterminés par les caractères dimensionnels les plus faibles. Viennent ensuite les spécimens 38-CHA, 38-SEY et 42-MAR, eux aussi classés précédemment comme compacts, mais jouissant de ratios plus élevés (SBE et SBR). Par contre, les deux classes ’plan à compacité moyenne’ et ’plan éclaté’, définies antérieurement, semblent ici réunies, formant une seule sous-classe d’individus cumulant une (très) faible compacité et des données dimensionnelles importantes.

Le facteur 1 semble donc pouvoir s’interpréter comme le caractère synthétique liant compacité morphologique et compacité dimensionnelle des objets architecturaux ; ce premier axe épuisant à lui seul 20,2 % de l’inertie totale du nuage.

Or, ce type de distribution spatiale, bien que présentant 3 amas bien distincts, s’appuie vraisemblablement sur un classement ordonné des individus en fonction de données numériques réunies en classes – travail de codage effectué pour passer de données quantitatives à des modalités qualitatives, à partir des critères surfaciques. Une lecture du nuage, non plus en termes de masses, mais comme courbe de répartition des individus n’est alors pas sans nous évoquer un cas de figure très spécifique en analyse factorielle : l’effet Guttman.

L’effet Guttman : origine, conséquences et interprétation : Parfois, lors de la projection du nuage sur le premier plan factoriel, « on obtient un nuage en forme de croissant enroulé autour du point G [origine du repère]. C’est l’effet Guttman : l’axe principal oppose alors les extrêmes, alors que l’axe n°2 oppose les individus moyens aux deux extrêmes » (De Lagarde J., 1998, p. 75). Si l’on « rencontre souvent des diagrammes factoriels d’allure parabolique, la structure sous-jacente (approchée) est alors celle d’un ordre total entre les modalités » (Rouanet H., Le Roux B., 1993, p. 274-275).

Dans une analyse factorielle, ce phénomène « apparaît lorsqu’il existe une structure d’ordre à la fois sur l’ensemble des lignes et sur celui des colonnes et que ces structures sont associées » (Escofier B., Pagès J., 1998, p. 205). La vérification de la présence de cet effet d’échelle peut être menée en bâtissant un nouveau tableau disjonctif complet (faisant apparaître toutes les modalités, l’appartenance d’une modalité à un individu y étant notée 1) croisant individus et variables responsables de l’effet Guttman. « Si l’on réordonne les lignes et les colonnes dans l’ordre du premier facteur, on obtient un tableau dont les éléments proches de la diagonale ont [des valeurs égales à 1] tandis que les éléments éloignés sont nuls » (ibid.). La réalisation d’un tel tableau (page ci-contre) avec les 8 variables qui nous occupent ici vient alors valider cette hypothèse.

Le premier facteur, en tant que facteur d’échelle, classe donc les spécimens en fonction de leurs caractères dimensionnels, en liant les variables surfaciques à la morphologie plus ou moins compacte du plan. Le nuage revêt ici une forme parabolique asymétrique du fait de la différence de poids entre les effectifs des trois sous-ensembles de modalités.

La projection du nuage des points-modalités considérés ci-dessus sur le premier plan factoriel illustre l’effet d’échelle (figure page suivante) : ordonnancement linéaire des trois modalités de chaque variable, dans la direction de l’axe 1, avec regroupement des modalités de même rang dans un même voisinage. La courbure parabolique est particulièrement sensible pour les principales variables concernées.

Le deuxième facteur, qui « s’interprète [en premier lieu] comme opposition entre extrêmes et moyens » (ibid., p. 208), distingue nettement 3 spécimens, 38-CHA, 38-SEY et 42-MAR, qui, bien que fortement compacts et dotés de faibles surfaces et ratios de surface concernant leurs unités d’hébergement, offrent des ratios plus élevés que leur catégorie en terme de surfaces accessibles au niveau du bâtiment (SBE, SBR). Il est à noter que ces individus ’moyens’ du point de vue de l’analyse ne correspondent pas aux individus moyens en termes de données (décrits par les modalités 2 des variables considérées), ces derniers se rapprochant des individus de grande taille, formant une sous-classe extrême importante.

Ce deuxième facteur, considéré du seul point de vue de l’effet Guttman, nous donne donc une information intéressante, au delà de l’effet d’échelle que le premier axe factoriel illustre : être moyen du point de vue morphologique et surfacique, ce n’est pas posséder des critères numériquement ’moyens’, mais offrir des ratios de surface accessible élevés alors que le bâtiment s’avère compact et de faibles dimensions.

Les deux graphiques suivants illustrent les propriétés géométriques du nuage de points-individus caractérisé par l’effet Guttman, selon les deux premiers plans factoriels (F1,F2) et (F1, F3).

Dans un pur cas de figure de cet effet, au delà du premier plan factoriel, « lorsqu’un facteur d’échelle est très fort, il influence plusieurs axes [...] ; cela conduit à négliger les facteurs suivants qui sont des fonctions polynômes du premier » (Escofier B., Pagès J., 1998, p. 262). Mais, « si le premier plan factoriel fait apparaître un nuage de points dont la forme parabolique est floue, il est possible que l’influence du premier facteur ne se fasse sentir que sur quelques axes seulement : il est alors possible de trouver des facteurs de rang moyennement élevé s’interprétant indépendamment du premier. Il est donc prudent de s’assurer d’un effet Guttman au-delà des deux premiers facteurs » (ibid.).

Plusieurs éléments concourent à adopter ce point de vue dans le cas de la présente analyse :

• L’effet Guttman constaté, bien que clairement perceptible, n’en est cependant pas moins flou : aussi bien sur le graphique du premier plan factoriel – la parabole n’est pas parfaite – que sur le TDC réordonné – l’effet de bande diagonale du scalogramme révèle des lacunes.

• L’effet d’échelle ne s’appuyant majoritairement que sur 8 des 25 variables principales du protocole de calcul de l’ACM, le fait que 17 autres variables interviennent dans l’ACM semble tempérer l’effet Guttman dont l’influence peut ne plus se faire sentir sur les axes ultérieurs.

• Ceci tend à se vérifier dès le plan factoriel (F1,F3), où le troisième facteur en tant que fonction polynôme du 3ème degré du premier facteur devrait faire apparaître le nuage comme une courbe coupant F1 en trois points dont l’origine – propriété qui n’est pas ici le cas. Si la ’colonne vertébrale’ du nuage s’apparente à une telle courbe, la dispersion des individus est assez accentuée, trahissant l’estompage de l’effet Guttman, et l’entrée en considération d’autres variables.

• En ACM, lorsque des variables qualitatives sont issues d’un recodage de données numériques en classes ordonnées – comme c’est le cas ici pour les variables surfaciques –, « l’ACM de ces variables qualitatives conduit presque automatiquement à un effet Guttman » (ibid.). Cependant, il s’avère qu’en ACM cet effet taille se traduit généralement sur un nombre maximum de facteurs égal au nombre de modalités des variables considérées n moins 1. Or, toutes les variables concourant à l’effet Guttman possèdent 3 modalités. L’influence de cet effet est donc supposée s’amoindrir au-delà de 2 facteurs, donc du premier plan factoriel.

Ces quatre points suffisent à nous inciter à aller plus avant dans l’interprétation des autres facteurs et plans factoriels, indépendamment de cet effet d’échelle.