2.1.1 Le modèle sans contrainte financière

On suppose que les managers et les propriétaires sont neutres vis à vis du risque, et que les managers agissent selon les intérêts des propriétaires en maximisant la valeur (Vt) de l’entreprise. Ce modèle décrit un équilibre partiel, le comportement du secteur financier étant exogène. Au temps t, toutes les valeurs présentes sont connues avec certitude, tandis que toutes les valeurs futures sont stochastiques. On suppose enfin que les managers ont des anticipations rationnelles.

La valeur de l’entreprise (Vt) est égale à l’espérance conditionnelle (à l’information disponible en t) de la somme actualisée des rendements présents et futurs, ajustés de la fiscalité

où Et[.]désigne l’opérateur espérance conditionnelle à l’information disponible à la période t, βt le taux d’actualisation, le taux de fiscalité sur les dividendes et dt les dividendes, à la période t.

Le manager maximise la valeur de l’entreprise sous trois contraintes. La première contrainte définit les dividendes de l’entreprise. Les ressources incluent les ventes, les emprunts nets, alors que les emplois correspondent à la rémunération du travail, aux remboursements des intérêts, aux charges liées à l’investissement et aux coûts d’ajustement. Cette contrainte s’écrit donc

avec F(.)la fonction de production, G(.)la fonction de coûts d’ajustement, N le facteur travail, K le capital fixe, D les dettes, l l’investissement, w la rétribution du travail, i le taux d’intérêt nominal, p le prix de la production, pI le prix des équipements (investissements) et τ le taux de fiscalité sur les bénéfices.

La fonction de production F(.)est supposée homogène de degré un avec FK>0 et FKK<0. La fonction G(.)représente les coûts d’ajustement du niveau du capital. Elle est supposée croissante et convexe par rapport à l’investissement: GI>0 et GII>0, mais décroissante par rapport au capital fixe: GK<0.

La deuxième contrainte correspond à l’équation classique d’accumulation du capital

avec δ le taux de dépréciation du capital.

La troisième contrainte impose que les dividendes ne doivent pas être négatifs. En d’autres termes, l’entreprise n’a pas accès à d’autres sources de financement que celles déjà mentionnées.

Soient les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes (21) et (22) respectivement, l’équation de Bellman associé à ce programme est (Ljungqvist et Sargent, 2000)

Si l’on remplace dt+j par son expression dans (20), on obtient:

Les conditions de premier ordre par rapport aux dettes, au travail, à l’investissement et au capital ont pour expression:

où F N, G I, F K et G K sont les dérivées de premier ordre.

Pour faciliter l’interprétation de l’équation (23), supposons un marché des capitaux parfaits, l’absence de fiscalité et un taux de préférence pour le présent nul. Dans ce cas, le rendement des actions (dividendes) doit être égal au rendement des dettes (intérêt) et l’équation devient: , i.e. la valeur marginale des dividendes est égalisée dans le temps. Le multiplicateur λd, associé à la contrainte (22) sur les dividendes peut s’interpréter comme une prime de financement par fonds propres. L’équation (24) implique que l’entreprise égalise la valeur de la productivité marginale du travail à son coût réel à chaque période.

On utilise l’équation (25) pour éliminer le multiplicateur de l’équation (26) qui détermine l’accumulation optimale du capital. On obtient alors ce qui est communément appelé l’équation d’Euler:

d’où:

Pour l’interpréter économiquement, réécrivons l’équation (27) en ignorant les coûts d’ajustement:

Cette équation indique que la valeur du produit marginal du capital en t doit être égal au coût marginal du capital. En effet, la partie droite de l’équation correspond au coût d’usage du capital comme le définit Jorgenson.