Forme fonctionnelle de la fonction d’utilité

Dans les modèles logits, nous avons fait l’hypothèse de la linéarité par rapport aux paramètres de la fonction d’utilité qu’un individu attribue à un mode ; elle s’écrivait sous la forme d’un produit salaire :

Vit = Xit*B.

Cette dernière étape de la construction du modèle n’a aucune justification théorique : proche de la méthode des pondérations en optimisation multicritère, cette hypothèse n’est acceptable que pour des raisons de commodité des calculs.

A ce titre, cette hypothèse était une des premières à être contestée… Les questions suivantes peuvent être posées :

Ces interrogations ont suscité de nombreux travaux, par exemple, de F.S. KOPPELMAN, M.J.I. GAUDRY et M. WILLS 63 . Le but de ces travaux est d’essayer, en partant de la structure logit standard, de fournir une meilleure identification des relations sous-jacentes entre le comportement de déplacement et les variables explicatives (ce but est d’ailleurs souvent réalisé…).

Il est apparu dans des études empiriques, depuis Stevens en 1957 et Briggs en 1973 qu’il existe, comme nous avons noté plus haut, une transformation non linéaire (probablement représentable par une fonction puissance) entre la valeur perçue et la valeur objective de certaines variables caractérisant l’offre de transport (coût, temps de déplacement). De même, la perception de la pénibilité, de l’inconfort, etc. ne semblent pas croître de façon linéaire.

Par la suite, en s’appuyant sur les théories de la décision et du consommateur, il a semblé naturel à certains auteurs d’introduire des fonctions d’utilité non linéaires pour mieux tenir compte du facteur “ perception ” que dans une combinaison linéaire de variables objectives d’offre. 64

En fait, comme le précise F.S. KOPPELMAN : “ il semble intéressant d’introduire des transformations non linéaires sur certains attributs des modes pour essayer de tenir compte des effets de perception de ces variables par les individus ”.

La première idée utilisée à été celle d’une transformation puissance de certaines variables :

F(X) = (Xo – X)α,

avec Xo > X, 0 < α < 1 (on introduit F(X) à la place de X dans les fonctions d’utilité).

Mais quelle valeur donner à α ? Les études statistiques pouvaient-elles le préciser ?

Les travaux menés par GAUDRY et WILLS consistent à “ élargir le champ ” des formes fonctionnelles possibles de l’utilité. Leur intérêt est de ne pas figer cette forme fonctionnelle a priori, c’est-à-dire de rendre les modèles utilisés moins contraignants : les exposants sont considérés comme des paramètres du modèle au même titre que les pondérations.

Les auteurs résument souvent leur conception par : “ Laissons les données s’autodéterminer en ajustant elles-mêmes leur forme fonctionnelle ”.

Ces recherches sont de nature plutôt empirique : leur but est d’obtenir, pour un modèle donné, de meilleurs résultats, c’est-à-dire un meilleur ajustement des variables en réfutant l’hypothèse de linéarité de l’utilité.

Formalisation :

Nous nous intéressons à deux transformations de variables :

Ces transformations peuvent être appliquées à toutes les variables ou à certaines, voire à des membres entiers d’une équation. 65

Cette approche est issue des “ modèles de niveaux ” : au lieu d’effectuer une régression linéaire classique, on a tenté d’appliquer ces transformations aux variables pour essayer d’obtenir un meilleur ajustement du phénomène modélisé.

On l’applique de la même façon aux variables explicatives des fonctions d’utilité “ pour essayer d’obtenir une forme fonctionnelle optimale ou, plus simplement, comparer la forme estimée à une forme suggérée par la théorie, nos préjugés ou notre expérience… ”.

L’introduction de ces transformations aboutit finalement au modèle “ Box-Cox-logit ” (ou BC-logit) de même formule que le modèle logit standard et où :

Son calibrage nécessite plus de calculs, mais il permet, en principe de mieux représenter les réactions des consommateurs, dont rien ne permet d’affirmer a priori que l’utilité soit linéaire dans les variables.

Notes
63.

KOPPELMAN F. S., GAUDRY M.J.I., WILLS M., "Estimating the fonctional form of travel demand models", Transportation Research, Vol. 12, No 4, 1978, pp. 257-289.

64.

LERMAN, LOUVIERE, "Using fundamental measurement to identify the form of the utility functions in travel demand models", Transportation Research, No 673, pp. 78-85.

65.

Cf. M.J.I. GAUDRY, 1982, op. cit.