ANNEXE 1.2. : Les processus stochastiques et lemme de ito

Annexe 1.2.1. : Processus de Wiener

Le processus de Wiener, processus stochastique en temps continu, est un processus :

  • Markovien c’est-à-dire que la distribution de probabilités ne dépend que de l’information courante et non de celle passée152,

  • dont les accroissements sont indépendants entre deux instants et ,

  • dont les changements sont supposés normalement distribués.

Formellement, si z(t) est un processus de Wiener, les changements de message URL FORM321.gif pour tout intervalle de temps Δt, doivent satisfaire les conditions suivantes :
la relation entre Δz et Δt est telle que message URL FORM322.gif,
message URL FORM323.gif 153.
Les accroissements du processus de Wiener sont tels que, pour tout Δt, message URL FORM324.gif avec message URL FORM325.gif.
Notes
152.

Le processus de Markov est défini non seulement par un ensemble généralement fini d’états mais aussi par une loi dynamique. Cette dernière est représentée par une matrice de probabilités de transition déterminant la probabilité que le système passe des états à dans un intervalle de temps donné. Par conséquent, l’ensemble des états de la nature est partitionné en deux groupes : ceux transitoires dont la probabilité de retour tend vers zéro et ceux récurrents dont la probabilité de retour tend vers l’unité lorsque le temps tend vers l’infini.

153.

Les variables aléatoires ne sont donc pas corrélées.