Annexe 1.2.2. : Mouvements Browniens

Mouvement brownien avec trend : Soit x une variable aléatoire suivant un mouvement continu brownien admettant pour expression :

lorsque α désigne la moyenne instantanée, σ l’écart type et dz l’accroissement du processus de Wiener,.

Mouvement brownien géométrique : Soit x(t) une variable aléatoire suivant un mouvement brownien géométrique dont l’expression est :

lorsque dz désigne l’accroissement du processus de Wiener, a(x,t) et b(x,t) des fonctions connues non aléatoires. L’espérance mathématique de ce mouvement brownien est :

puisque E(dz) = 0. A partir du taux moyen instantané espéré a(x,t) et du taux de volatilité instantané b2(x,t), il est possible de définir la variance du mouvement brownien V(dx) = b2(x,t)dt.