0113.2. Le calcul statistique du coefficient de corrélation

Le calcul de r, coefficient de corrélation, nécessite de rendre compte, pour chaque distribution, de la dispersion de ses éléments. Ce caractère se dénomme l’écart-type et se symbolise par le signe σ. Il convient de rechercher σx et σy. La détermination de l’écart-type passe par le calcul de la variance (var) car la relation entre ces deux éléments est de nature arithmétique:

L’accès à la variance renvoie au calcul de la moyenne ( ), valeur de tendance centrale. Rappelons que la variance recherche la différence entre toutes les valeurs de x et la moyenne, au regard de la population considérée (N). Dans la mesure où il s’agit d’une fraction de la population, nous procéderons à une correction d’échantillonnage en ramenant l’effectif à N-1 .

La formule de la variance, sachant que , sera par conséquent la suivante:

Appliquons ce calcul aux deux séries de données afin d’atteindre pour chacune d’elles σx et σy.

Ces informations nous permettront de calculer le coefficient de corrélation selon une voie simplifiée où écart-type et co-variance seront combinés. Nous réserverons cette option à une vérification de r que nous nous proposons de déterminer à partir de la formule traditionnelle.

Il va être possible, dès à présent, de calculer précisément le coefficient de corrélation r. Pour faciliter ce calcul, nous allons regrouper dans un tableau plusieurs données complémentaires.

s i	x i	y i	x i y i	x i ²	y i ²
1	6	5.916	35.496	36	34.999
2	7	6.062	42.434	49	36.747
3	11	16.316	179.476	121	266.212
4	8	15.666	125.328	64	245.423
5	11	13.742	151.162	121	188.843
6	14	16.6	232.4	196	275.56
7	12	15.958	191.496	144	254.658
8	14	16.8	235.2	196	282.24
9	9	18	162	81	324
10	10	14.183	141.83	100	201.157
11	14	18.3	256.20	196	334.89
12	14	17.05	238.70	196	290.702
13	14	18.116	253.624	196	328.189
14	14	17.366	243.124	196	301.578
15	6	13.516	81.096	36	182.682
16	6	7.2	43.20	36	51.84
17	12	18.475	221.70	144	341.326
18	13	16.683	216.879	169	278.322
19	14	14.842	207.788	196	220.285
20	12	17.075	204.90	144	291.556
21	10	18.225	182.25	100	332.151
22	9	10.116	91.044	81	102.334
23	14	17.858	250.012	196	318.908
24	9	12.975	116.775	81	168.351
25	10	17.642	176.42	100	311.240
26	8	15.375	123	64	236.391
27	7	13.608	95.256	49	185.178

Le coefficient de corrélation s’élabore en tenant compte des variations de deux distributions et des variations de leur union. La formule brute devient alors un peu complexe:

A la lecture de cette construction, cinq données apparaissent comme particulièrement dominantes:

Σx, Σy, Σxy, Σx², Σy²

Le tableau élaboré auparavant va permettre de calculer rapidement ces cinq données:

Σx	Σy	Σxy	Σx²	Σy²
288	403.665	4498.79	3288	6385.762

L’application de la formule nous donnera le résultat suivant: r = 0.700834889, ce qui, rapporté à trois chiffres après la virgule et associé à l’usage conventionnel de l’écriture anglo-saxonne, aboutira à l’égalité suivante:

r = .701

Nous avons signalé, en tout début de calcul, que l’écart type intervenait dans le calcul du coefficient de corrélation. C’est en effet une seconde voie possible que nous allons maintenant explorer dans le but de confirmer ou non le résultat déjà établi sur r. Pour cela, nous évoquerons la notion de co-variance (co-var) qui est, d’une certaine manière, une variance attribuée simultanément à deux distributions. Le calcul de cette co-variance obéit à la construction suivante:

Le score atteint par la co-variance sera alors: co-var = 7,424.

Rappelons par ailleurs que les écarts-types de chaque série s’établissent comme suit:

σx = 2.882 et σy = 3.673

Le calcul de r va correspondre à la division entre la co-variance et le produit des écarts-types:

Cette fraction aboutira à une valeur de r égale à 0,701303608. Une certaine différence se manifeste dans le résultat brut par rapport à ce qui avait été trouvé précédemment: r = 0.700834889. Cette faible disparité, un peu plus de 4 dix-millièmes, est liée aux approximations faites par la réduction à trois chiffres après la virgule lors des calculs intermédiaires. Au demeurant, lorsque le second résultat final est aussi réduit à trois chiffres après la virgule, la valeur de r devient identique et confirme par conséquent la validité du premier calcul.