3.1.2. Résolution du modèle 

Il s’agit d’examiner ici l’équilibre de Nash symétrique dans lequel tous les joueurs choisissent de ne pas coopérer. Lorsque les agents n'ont pas l’opportunité de punir leurs pairs, la coopération ne peut pas émerger. Ceci provient du fait que la seule possibilité pour un coopérateur de réduire l’inégalité désavantageuse ressentie vis à vis de ceux qui ne coopèrent pas consiste à réduire son propre effort de production.

Proposition 1 : lorsque les sujets n’ont pas l’opportunité de se sanctionner mutuellement, alors personne n’est incité à coopérer à la production de l’output.

Preuve: Afin de montrer que la combinaison des stratégies où tous les sujets adoptent un comportement de passager clandestin est un équilibre de Nash, il faut vérifier que personne n’est incité à dévier de cet équilibre. Considérons la fonction d’utilité du joueur i s’il adopte un comportement de passager clandestin tandis que les autres adoptent également un comportement de passager clandestin. Le profit de chaque joueur i s’écrit alors:

(2)

Supposons que le joueur i dévie de l'équilibre et choisit de coopérer. Alors son gain est donné par:

(3)

Le premier terme de la fonction d’utilité du joueur i représente l’output moyen que reçoit le joueur i. Le deuxième terme représente le coût pour l'agent i de coopérer. Enfin, le troisième terme traduit l’inégalité désavantageuse ressentie par i vis à vis des (n-1) autres joueurs qui adoptent un comportement de passager clandestin. Le gain net d’être passager clandestin est X.

Considérons l'incitation pour l'agent i à dévier. L'agent i est incité à coopérer si et seulement si la condition suivante est vérifiée:

(4)

D’après l’hypothèse (ii), on sait que : f(m,n)-X<f(m-1,n). Il apparaît donc que f(0,n)>f(1,n)-X. Par ailleurs, lorsque i coopère alors que tous les autres sujets adoptent un comportement de passager clandestin, il ressent une inégalité désavantageuse vis à vis des (n-1) autres joueurs. Puisque _i>0, alors la condition ci-dessus n’est jamais vérifiée. Personne n’est donc incité à dévier de l’équilibre. Par conséquent, les sujets ne sont pas incités à coopérer même lorsqu’ils sont averses à l’inégalité. Les prédictions théoriques restent donc identiques à celles du modèle standard sans aversion à l’inégalité. ⁴⁸