ANNEXE III.B2 : Définition de la coopération

On a considéré qu’un sujet était coopérateur s’il contribuait un montant positif au bien public. Une autre définition de la coopération serait de considérer par exemple qu’un sujet est coopérateur uniquement lorsqu’il contribue toute sa dotation au bien public. Il existerait donc autant de niveau de contribution d’équilibre que de définition de la coopération. On montre dans cette annexe que la condition (7) est vérifiée pour toute définition de la coopération. A l’instar de Fehr et Schmidt (1999) ⁶¹ , on suppose qu’un sujet coopère s’il contribue un montant positif g]0,y] au bien public. D’après ces auteurs, l’intérêt d’une telle démarche est d’offrir une solution théorique générale qui englobe toutes les définitions de la coopération. Ainsi, au sens strict de définition de la coopération un sujet coopère s’il contribue g=y tandis qu’au sens large de la définition, un sujet coopère s’il contribue un montant non nul au bien public.

Vérifions si la combinaison de stratégies appelée bannissement, qui consiste à ce que chaque joueur i contribue un montant positif g_i=g]0,y] au premier projet, exclure tous ceux qui ne coopèrent pas au premier projet et enfin ne pas contribuer au deuxième projet, forme un équilibre parfait en sous jeu. A l’équilibre, chacun coopère au premier projet. Si un sujet dévie de l’équilibre, c’est à dire s’il contribue moins que g, alors les autres continuent à coopérer mais excluent le sujet déviant. Dans le deuxième projet, la stratégie de passager clandestin est une stratégie dominante puisque les décisions de contribution à ce deuxième projet ne peuvent faire l’objet de représailles.

Procédons par induction à rebours afin de montrer que la combinaison de stratégies où tous les sujets suivent les stratégies de bannissement est une stratégie d’équilibre. Pour cela, montrons qu’aucun sujet n’est incité à dévier de cet équilibre à chacune des étapes du jeu.

• En dernière étape du jeu, les sujets qui n’ont pas été exclus décident de leur niveau de contribution au deuxième projet. Aucun sujet n’est incité à contribuer au projet dans la mesure où la décision à cette étape du jeu ne fait pas l’objet de représailles.
• En deuxième étape, chaque sujet observe la contribution individuelle de chacun des autres membres du groupe et décide d'exclure ou pas les autres sujets. Puisque les sujets s’attendent à ce que le deuxième projet ne soit pas produit quelle que soit la taille du groupe, le coût indirect à exclure un membre est donc nul. Chaque sujet i est donc incité à exclure tous les sujets qui ne coopèrent pas dans le premier projet

Le premier terme de l'inégalité représente le profit du sujet i s'il contribue g au premier projet et adopte un comportement de passager clandestin au deuxième projet. Le deuxième terme de l’inégalité ci-dessus traduit le gain du sujet i s’il contribue moins que g au premier projet et est exclu du deuxième projet. Ses gains pour la période se résument donc aux gains issus du premier projet. La condition ci-dessus est-elle toujours vérifiée? Selon l’hypothèse sur les économies d'agrégation, on sait que :

De plus, on sait que yg_i. Par conséquent la condition ci-dessus est toujours vérifiée. Ainsi les sujets choisissent de coopérer au premier projet. La menace d'exclusion est donc une menace crédible qui permet d’atteindre la coopération dans le premier projet. A l’équilibre, chaque sujet i coopère au premier projet et personne n'est exclu. En troisième étape du jeu, personne ne contribue au deuxième projet. La coopération peut ainsi être atteinte dans le premier projet au coût d’une non-coopération au deuxième projet.

Il existe donc un continuum de revenus d’équilibre selon la définition d’un coopérateur, c’est à dire selon la valeur prise par g. Ainsi lorsque g=20, tous ceux qui ne contribuent pas toute leur dotation sont exclus par leurs pairs. Au contraire, lorsque g=1, alors seuls ceux qui contribuent aucun ECU au bien public font l’objet d’exclusion. Fehr et Schmidt (1999) avancent le raffinement d’équilibre qui consiste à éliminer tous les équilibres Pareto dominés pour montrer que l’équilibre sur lequel se coordonnent les joueurs (même s’ils choisissent de façon indépendante leurs stratégies) est celui où tous les joueurs contribuent toute leur dotation au bien public.