2.2.2. Paramètres d’intérêt

Le problème de l’évaluation est essentiellement un problème d’identification, puisque seule l’une (au plus) des variables T ₂ , Y ₁₁ , Y ₁₂ , Y ₀₁ et Y ₀₂ est observée : soit le chômeur adhère à une convention de conversion et en ce cas on observe au mieux seulement T ₂ , Y ₁₁ , Y ₁₂ , soit il n’y adhère pas et en ce cas on n’observe que Y ₀₁ ou Y ₀₂ . L’effet du « traitement sur les traités » est défini ici comme la variation de la probabilité de transition vers un emploi sur CDI induite par le passage par une convention pour les travailleurs licenciés qui passent effectivement par ce dispositif. Ce paramètre est égal à :

Il est identifié grâce à l’hypothèse sur la forme de la loi jointe des résidus, supposée être une loi normale. En effet, chacune des probabilités qui compose cette somme est aisément calculable à partir de l’hypothèse faite sur la matrice de variances-covariances de ces résidus. Le premier élément de cette somme est la probabilité, pour un bénéficiaire de caractéristiques observables X, ¹⁰⁰ d’être embauché directement sur un CDI à l’issue du passage en convention. Le second élément est la probabilité pour ce même adhérent d’entrer en chômage à l’issue de la convention puis d’être embauché en CDI (événement qui survient si la durée de chômage Y ₁₁ associée à une transition vers un CDI est inférieure pour cet adhérent à la durée de chômage Y ₁₂ associée à une transition vers un CDD). Le troisième terme est la probabilité pour ce bénéficiaire d’être embauché en CDI à l’issue de sa période de chômage s’il n’avait pu accéder au dispositif. Ce dernier événement est ici le contre factuel pertinent pour un bénéficiaire.

Un raisonnement analogue permet de déduire la variation de la probabilité de transition vers un CDI induite par un passage en convention pour un non adhérent de caractéristiques observables X, qui est à égale à :

Les paramètres du modèle (1)-(5), à savoir les vecteurs θ _k (k = 0, 1, 2), les vecteurs β _jk (j = 0, 1 ; k = 1, 2) et les éléments de la matrice de variances-covariances définie en (5), sont estimés par la technique du maximum de vraisemblance. Les formes des contributions individuelles à la fonction de vraisemblance de l’échantillon et le principe de calcul de ces contributions sont présentés dans l’encadré n°1.

Encadré n°1 : Ecriture des contributions individuelles à la fonction de vraisemblance du modèle à risques concurrents

Les fonctions de répartition des lois normales jointes ou conditionnelles apparaissant dans ces expressions sont calculées à l’aide des procédures cdfbvn, cdftvn et cdfmvn fournies par le logiciel Gauss (version 5.0). Ces procédures sont insérées dans un programme qui permet, grâce au même logiciel, de maximiser la fonction de log-vraisemblance de l’échantillon. La mise en œuvre de ces procédures requiert la connaissance des matrices de variances et covariances des lois normales jointes ou conditionnelles apparaissant dans les formules ci-dessus. Ces matrices peuvent être calculées à partir de la matrice de variances et covariances de la loi jointe du vecteur des sept résidus du modèle général, telle qu’elle est définie en (5). En particulier, les moyennes et matrices de variances-covariances des lois conditionnelles apparaissant dans les contributions (c), (d), (f) et (g) peuvent être calculées en utilisant les formules relatives aux lois normales conditionnelles multivariées, formules que l’on trouve dans l’ouvrage de Greene (Greene, 2000, p. 87).

Pour que l’estimation de la matrice Σde variances-covariances des résidus du modèle soit définie positive, nous avons utilisé la décomposition de Choleski de cette matrice (voir Annexe 4.A).