Le formalisme des conceptions de Balacheff (1999)

Balacheff (1999, p. 224-225) propose de passer par une formalisation du concept de conception, afin de résoudre le problème de modélisation posé par la coexistence chez un sujet de structures mentales contradictoires du point de vue d'un observateur, et cependant cohérentes lorsqu'elles sont replacées dans le contexte d'une mise en oeuvre particulière dans le référentiel du sujet. Cette formalisation est la suivante :

‘«’ ‘Nous appelons conception C, un quadruplet (P, R, L, ’ ‘’ ‘) dans lequel :
- P est un ensemble de problèmes sur lequel C est opératoire ;
- R est un ensemble d'opérateurs ;
- L est un système de représentation, il permet d'exprimer les éléments de P et R ;
- ’ ‘’ ‘ est une structure de contrôle, elle assure la non contradiction de C.
En particulier, un problème p de P est résolu s'il existe r de R et s de ’ ‘’ ‘ tel que
s(r(p)) = vrai’ ‘»’ ‘ (Balacheff 1999, p. 225)’

Pour caractériser une conception, il faut déterminer :

• l'ensemble des problèmes P, qui décrit le domaine de validité de la conception. Il existe deux approches possibles pour le définir :
• • la première se base sur la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1990) et consiste à prendre ‘«l'ensemble des situations’» qui appellent à la mise en oeuvre de la conception.
  • la seconde utilise la théorie des situations de Brousseau (1986) et essaie de réduire cet ensemble à un nombre fini de problèmes spécifiques.

• L'ensemble des opérateurs R, qui permet la manipulation des éléments de L, et donc la transformation des problèmes, ils sont attestés par des productions et des comportements.
• Le système de représentation L, peut être un complexe de systèmes de représentations langagières ou non-langagières dont la caractéristique fonctionnelle est de permettre l'expression des éléments de P et de R.
• La structure de contrôle S, a pour rôle d'assurer la non-contradiction de la conception, elle contient sous forme d'oracles les outils de décision sur la légitimité de l'emploi d'un opérateur ou sur l'état (résolu ou non) d'un problème.» (l'ensemble de ces définitions est tiré du site http://conception.imag.fr/ )

Cette formalisation donne une définition précise d'une conception. Les différents éléments qui la composent peuvent servir de base pour la comparer avec d'autres conceptions. Il est possible par exemple de comparer le domaine de validité de deux conceptions ou bien les opérateurs qu'elles mobilisent. Ce formalisme permet entre autres de définir une conception partielle : ‘«’ ‘une conception C est partielle relativement à une conception C' si et seulement si C est équivalente à C' sur une partie stricte de P'.’ ‘»’ ‘’(Balacheff 1999, p.236).

La connaissance d'un individu est définie comme un ensemble de conceptions ayant le même -objet (-objet décrit dans ce cas un objet mathématique). Ceci permet à la fois de parler de son domaine de validité (union des domaines de validité des conceptions qui la constituent) tout en reconnaissant son caractère contradictoire (l'une des conceptions qui la constituent est fausse au sens d'une autre). Avec cette définition de la connaissance, il est possible de décrire la cohérence de l'ensemble des conceptions qui la constituent (cet ensemble est appelé Q), ainsi que son domaine de validité (appelé ).

À partir de cette définition, Balacheff propose de décrire l'évolution des états de connaissances d'un sujet à un moment donné. Il précise :»Un état de connaissance (Q, ) d'un -objet M peut évoluer en conséquence de l'évolution de ses constituants Q ou , ou des deux simultanément.

Une modification de Q peut être le résultat de l'ajout ou au contraire du retrait d'une conception, ou encore la substitution d'une conception à une autre ou à un sous-ensemble d'autres conceptions. De même  peut être modifié en supprimant ou en ajoutant des problèmes ou en substituant un problème à un sous-ensemble de problèmes.

Une évolution simple est celle qui rend compte de la modification du domaine de validité d'une conception.

Une évolution particulièrement intéressante d'un état de connaissance est celle qui conduit à éliminer les contradictions actuelles dans Q» (Balacheff 1999, p.240).