introduction

A l’instar des grecs, qui représentaient pour Périclès le seul peuple pour qui la réflexion n’inhibait pas l’action, et en vertu de « l’aptitude réflexive de l’esprit humain, qui le rend capable en se dédoublant de se considérer lui-même, cette aptitude que certains auteurs comme Montaigne ou Maine du Biran ont admirablement exercée, devrait être chez tous encouragée et stimulée » ¹ , nous assumions en sourdine, le parti pris de la recherche. Guidée par la soif d’échapper au milieu anxiogène de la salle des professeurs et poussée par le désir d’oxygénation par rapport au vécu professionnel quotidien. Mais ce nouveau statut, s’il orchestra un processus de décentration n’aliéna pas pour autant le foisonnement de questions vives, parfois mêmes enchevêtrées les unes aux autres. En outre, il obligea à clarifier les interrogations jusqu’à les réduire pour en extraire l’ultime problématique.

Pour apprécier l’émergence de notre problématique, l’important est de montrer comment s’est tramée notre réflexion, au fil du temps qui se tisse dans notre histoire de praticien.

C’est une invitation à éclaircir notre situation de professeur de mathématiques en collège, pour comprendre le fond sur lequel s’est forgée cette thèse.

Ce travail a pris corps au moment même où l’incertitude se trouve de plus en plus logée au cœur des choses, laissant le champ libre à un monde des possibles selon une expression poppérienne.

Au sein de la société actuelle le doute et l’incertitude se sont immiscés au plan des idéaux. Révolue l’époque dominée par une vision déterministe où l’homme et la société étaient abordés en terme de structures, de fonctions ou de lois de développement. Une nouvelle représentation de l’humain s’impose désormais.

Le désordre et l’indéterminisme fondent une autre vision du monde dans lequel la réflexion épistémologique devient une nécessité pour penser et construire une post - modernité vivable.

Et cet état de fait se prolonge dans le champ de la réflexion éducative car « l’école ne constitue pas un isolat » comme le ponctue A. Prost ² qui accentue le propos en livrant que « la réflexion sur l’école tourne court si l’on oublie que la société lui assigne des fonctions précises par rapport à des populations déterminées » ³ . Donc la question du sens de l’école est plus que jamais posée et à travers elle, c’est aussi la question du sens des savoirs et de leur usage qui est visée.

Dans la République de Platon, les savoirs sont d’ordre politique. Les savoirs auraient pour vocation de mettre de l’ordre dans les têtes, dans les âmes et entre les individus. Certes. A condition d’envisager l’incorporation de l’ordre par les savoirs à l’aune d’un paradigme éducatif visant l’enrichissement de la pensée.

Car en somme, dans cette volonté d’exclusion du doute qui est volonté de mise en ordre dans différents domaines, la logique aristotélicienne fut constamment sollicitée au point que, par exemple, Thomas d’Aquin employa précisément le raisonnement aristotélicien pour prétendre assurer la véracité des questions de foi. Gare au scientisme.

Dimension politique, soit, mais soucieuse du respect de la portée conative des savoirs qui transmute la mise en ordre, en pouvoir de mieux armer l’esprit pour argumenter l’action. Car les savoirs ont d’autres fonctions que celle de remettre le monde en ordre. Ouverture donc vers l’inéluctable question des savoirs opérants.

A ce sujet, la voie que propose J.P Astolfi ⁴ invite à défendre l’idée d’introduire des savoirs impliqués, saillants et passionnels. Substituer un savoir chaud à un savoir froid interpellant la résonance du sujet (la situation problème est alors évoquée). Susciter le regard nouveau sur les choses pour déclencher la dimension « illuminative » des savoirs (retentissement de la philosophie bachelardienne du non). Renouveler la saveur des savoirs.

Sur le même ton, « l’interrogation illimitée » que suggère Castoriadis ⁵ oblige à envisager une éducation dont les fruits (les savoirs, les postures et les attitudes) nourrissent l’idéal que l’individu agisse en connaissance de cause et non sous l’emprise des passions ou des préjugés. Une éducation qui accomplit la mise en forme progressive des échanges entre l’homme et le monde et commande l’esprit vers le développement d’une pensée dynamique. Pour contrecarrer l’habitude à suivre ou à voter pour des options que d’autres lui présentent.

Eloge donc à la pensée critique qui vise à « poser un jugement éclairé sur la valeur ou l’authenticité d’une source d’information, d’une idée, d’un argument, ou d’une opinion » ⁶ . Et en écho à Castoriadis, nous prenons à notre compte que la liberté c’est l’activité car dans notre société l’incertitude règne au plan même du statut de la vérité, résultat sans doute de l’émergence des pensées révolutionnaires de Copernic, Darwin, Freud, Heisenberg et Gödel.

Mais, le savoir est-il substance ou le savoir ne peut-il être que relation, produit et résultat ⁷  ? Le savoir est-il chosification ou rapport au monde ? En exemplifiant : le savoir, est-ce l’utilisation avec dextérité du théorème de Pythagore ou le savoir est-ce ce que permet d’envisager le théorème de Pythagore sous l’angle de l’humain ? Interrogations qui orientent ostensiblement vers la question de comprendre comment un objet de savoir peut il être source de savoirs ? Et nous affichons un parti pris en notre détermination à défendre que la centration sur des « objets canoniques » d’une science peut ouvrir un regard nouveau sur d’autres objets dont l’usage est fréquent en son sein. Vigilance épistémologique en somme.

Les sciences et leurs objets véhiculent des croyances, des mythes et de l’imaginaire : les mathématiques n’y échappent pas. Avec l’exemple de la preuve, la croyance d’atteindre le vrai est forte, générant le mythe que les mathématiques détiennent les clés du vrai, et l’imagination de rêver que toute connaissance scellée du sceau de la logique aristotélicienne se pare du label du vrai. Et l’exemple de Thomas d’Aquin de resurgir.

D’aucuns seront peut-être surpris de la double appartenance, de la question du vrai, tant il est immédiat de le rapprocher avec des problématiques plus philosophiques. Mais nous nous défendons d’entretenir une quelconque étanchéité entre mathématiques et philosophie dans la mesure où la praxis implique une idée de valeur, et que la philosophie est la conscience de la science ⁸ .

Donc, la question du vrai, traitée dans le domaine des mathématiques gagne à être éclairée par une réflexion hors de ce champ, aussi sommaire ⁹ soit elle. Par exemple, quel retentissement pourrait-il advenir (en mathématiques) de cet amalgame platonicien entre vrai et bien, qui érige la vérité comme une norme théorique et pratique au point de sous entendre que celui qui sait ce qui est, sait ce qui doit être ? Posture idéaliste qui met en œuvre une conception dogmatique de la vérité en donnant à voir l’être comme se détachant de lui-même pour ne devenir que sujet rationnel. Négation des affects, des pulsions et du caractère même d’humanité en somme. Le monde objectif existerait-il en dehors de la conscience qui en détermine les propriétés ? Le réel est-il une idée pure, auquel cas, nous ne pouvons être assurée que de l’existence de nos pensées et de nos perceptions ?

Quelles conséquences, l’identification de la vérité à la valeur, produirait-elle en mathématiques ? Vérité, comme résultant d’un jugement de valeurs relatif au sujet qui les énonce, à l’époque dans laquelle il vit, par rapport à une culture dans laquelle il est immergé.

Quelle onde de choc pour la question du vrai en mathématiques que de rabattre l’identification du vrai à l’objectivité ? Alors que ce qui est, l’est précisément par ce que nous sommes, c’est-à-dire contingent d’apriorisme temporel et spatial où le phénomène version kantienne est rencontre entre une chose et nos sens.

L’idée que connaissances et sujet sont indépendants ne requiert pas notre assentiment et nous adhérons franchement à la conception qui met en valeur le rôle constitutif du sujet dans l’acquisition de ses connaissances, de sorte que le sujet ne peut être isolé du phénomène observé. En d’autres termes nous avançons en nous appuyant notamment sur le principe d’Heisenberg, que le sujet réintègre le processus reliant connaissances et réalité par la construction théorique qui habite son observation. Et sous l’influence de Desautels, nous n’avons aucun embarras à suivre l’option qui met en valeur que la science ne fournira jamais une adéquation parfaite ou vraie entre les éléments d’un monde objectif et les connaissances qu’elle forgera. Et pour autant, à parler ainsi du réel

construit, ouvre t-on une brèche au sophisme, courant marqué par la possibilité, à propos d’une même chose, d’affirmer sa vérité et son contraire ? La thèse s’emparera bien sûr de cette question qui pour l’instant, est volontairement laissée sans réponse.

Notre statut de professeur dans le second degré nous confronte à ces interrogations sur le sens de l’école et sur le sens des savoirs, et plus généralement à propos du statut du vrai. Nous avons donc souhaité les aborder à partir de l’enseignement des mathématiques au Collège.

G. Kuntz pose une question centrale qui envenime depuis longtemps la question scolaire dans son ensemble : qui veut-on former, des ingénieurs ou des citoyens responsables ? Autre manière d’entamer la polémique entre instruire ou éduquer, polémique qui ne tient pas. Nous affirmons qu’il n’y a pas de disjonction entre les deux. Les savoirs visent à former aussi bien l’expert que le citoyen éclairé .

Souci d’émancipation démocratique, donc, à condition que l’enseignement des mathématiques ne consiste pas à fixer des formes, au détriment du sens des contenus. A condition aussi, que les mathématiques ne deviennent pas un instrument au service de l’exercice d’un pouvoir oligarchique sur le modèle des Pythagoriciens qui, d’après C. Hannaford ¹⁰ , formaient une véritable société fermée, cloisonnée et très aristocratique.

Si la problématique instruire et éduquer est évacuée, il n’en reste pas moins, comme se plaît à le rappeler G Kuntz, que dans l’enseignement, il faut des résultats rapides et faciles à évaluer. Et pourtant, « on gagne en compréhension et en autonomie en affrontant les questions profondes et difficiles contenues dans les mathématiques enseignées. La perte d’efficacité initiale par rapport à un cours classique est ensuite compensée par une compréhension en profondeur des notions qui fait de l’étudiant un scientifique (contrairement à ceux qui récitent des cours non maîtrisés et qu’on évalue sur des problèmes banalisés et répétitifs). L’apprentissage des mathématiques structure l’esprit : il construit des liens entre les connaissances, parfois de façon surprenante. Mais leur enseignement est tributaire de l’environnement social et économique. Faute de s’en préoccuper, les réveils pourraient être là aussi douloureux » ¹¹ . De la complexité des objets à enseigner dépendra alors la qualité des apprentissages mathématiques.

Mais il est une autre question vive touchant aux mathématiques et à l’image que l’enseignement donne de cette science jouissant d’un prestige quasi éternel. Prestige lié lui-même à la certitude de l’omniprésence de cette science au quotidien et de sa faculté de résolution de problèmes en tout genre. Or René Thom dessine une autre image qui ne s’apparente guère à celle que s’obstine à défendre l’enseignement des mathématiques en

évoquant « cette dégénérescence relativement rapide des possibilités de l’outil mathématique lorsqu’on va de la physique vers la biologie [qui] est certes connue des spécialistes, mais [ dont] il est fort peu mentionné aux yeux du grand public » ¹² . Et l’idée d’Astolfi de se profiler à nouveau : savoirs impliqués (qui interpelle l’élève), saillants (dimension illuminative), passionnels (renouvelle la saveur et tremplin pour transmettre une passion...celle des mathématiques). Et ce leitmotiv aristotélicien qui veut que l’homme soit un animal qui désire le savoir.

Alors, en vertu du principe que la première des politesses d’une étude critique doit être de ne pas ignorer ses objets, nous affichons le souci de lier réflexion et activité afin de faire des propositions qui s’appuient sur des observations : entrelacement en somme de connaissances scientifiques et de connaissances expérientielles qui ne surgissent pas du néant mais d’une pratique.

Activité, maître mot dans le registre didactico-pédagogique, qui relance les débats autour de la nature des savoirs à enseigner, de la manière de les acquérir et ravive la question de leurs finalités. Que doit-on apprendre et comment ? L’enseignant doit-il avoir « le point de vue du jardinier où seul le résultat compte » ¹³  ? Dès lors « pourrait être déclarée convenable, toute pratique centrée (peu importe comment) sur la construction du sens, l’explication du pourquoi et du comment » ¹⁴ . Nous n’évacuons pas la nécessitéde penser les conditions du comment, afin que l’acte d’enseignement ne relève pas d’une éthique de l’intérêt immédiat. Etre attentif aux conditions du comment, afin que l’acte pédagogique prenne ses distances vis à vis de la science poiétique, ou science de la production, en usant des propos de F. Imbert relatant les distinctions d’Aristote (dans le livre A de la métaphysique). Se soucier des conditions du comment, précisément pour garantir à l’acte d’enseignement sa proximité avec une science pratique. Science pratique qui considère les actions non productives de l’homme, les praxis, tout à la fois production d’objets matériels et de savoirs auto-production de l’homme lui-même tant « la praxis c’est moins ce que l’homme fait et le comment de ce faire que ce qui fait l’homme se faisant » ¹⁵ .

Lors, s’acquitter d’exercices et de tâches scolaires rituels est-ce s’engager dans une activité d’apprentissage ? Renvoyer systématiquement la science à la technique favorise t-il l’activité « d’interrogation illimitée » ? Des voix s’élèvent, comme celles de Beautier et Rochex ¹⁶ pour avertir que l’usage scolaire d’une définition semble se borner à sa mémorisation par cœur et à sa régurgitation occasionnelle, sans qu’on consacre du temps à la questionner, à préciser le dit et le non dit. Car enfin, le langage n’est pas qu’outil d’expression d’une pensée qui lui serait extérieure mais bien constitutif de l’élaboration de la pensée. Et l’interrogation récurrente de demeurer : à quoi servent les mathématiques ? A restaurer l’avènement de l’idée éducative par l’exigence de l’instruction.

Dans cette première partie de l’introduction, la sélection des questions cruciales, dont la liste est non exhaustive, a vocation à situer nos préoccupations de recherche en fonction des themata qui nous animent. De faire entrevoir l’élaboration d’une pensée qui ne sera pas générale mais qui éclairera une activité qui doit donner du sens à l’homme en veillant à « échapper simultanément à la clôture de la recherche sur le vrai et à l’enfermement de la recherche sur le bien » ¹⁷ .

Cette recherche en Sciences de l’Education qui se veut l’élucidation d’une action censée  selon la formule de P. Meirieu, ne pourra pas, de par sa nature même, se priver de référents différents. C’est pourquoi, d’après la première partie de cet exposé, l’on pourra remarquer la convocation des trois champs théoriques : didactique, pédagogique et éthique.

Enfin, il s’agit de mentionner la chronologie de la thèse qui rend compte de la mise en perspective de trois pôles différents parce que, en matière d’éducation et de formation, sont convoquées trois séries de données hétérogènes. Le pôle axiologique qui caractérise les finalités éducatives et les valeurs promues par les propositions que nous avançons. Puis le pôle scientifique correspondant à notre étayage théorique. Et le pôle praxéologique, spécifique des Sciences de l’Education qui évite à la recherche de n’être que spéculation et qui représente un apport pour l’action contribuant à la validité du modèle élaboré.

La première partie met en scène, successivement au cours des trois chapitres, deux protagonistes du triangle didactique face à la question de l’enseignement de l’idée du vrai pour faire émerger un problème.

Le concept de représentation est ici central dans la mesure où ce sont à travers les représentations que seront abordés le sens et la forme que peut prendre la question du vrai chez les élèves (qui est notre préoccupation principale). La question du vrai chez les enseignants servant de toile de fond (elle-même confortée par des études complémentaires validées et présentes en Annexes 1 et 2). Et c’est en regard des représentations des élèves que nous poserons le problème.

La deuxième partie, avec ses quatre chapitres, marque alors la nécessité de se centrer sur l’objet d’étude de la recherche, l’idée du vrai, pour l’approcher sous des angles différents qui lui donnent sens.

Elle s’empare de la question du vrai à partir d’une perspective large (convocation du champ philosophique) tout en se resserrant, peu à peu par l’intermédiaire des approches historique et épistémologique au sein des mathématiques, sur une épistémologie scolaire en mathématiques.

Avec le souci permanent de veiller à plus enchevêtrer des points de vues théorique et pragmatique qu’à ne les juxtaposer simplement. C’est pour cette raison que nous avons émaillé certains chapitres de propos d’élèves.

La troisième partie consiste à livrer l’élaboration d’une modélisation de l’usage de l’idée du vrai dans le champ scolaire telle que nous la concevons, illustrée par des propositions didactiques.

Elle s’arc-boute sur un contexte institutionnel (les programmes scolaires) et théorique (notre conception de l’apprentissage enseignement des mathématiques) afin de permettre l’élaboration de principes pour la prise en compte de l’idée du vrai dans l’enseignement des mathématiques, qui oriente vers le dépassement du traitement du vrai tel qu’il se conçoit actuellement dans l’enseignement.

La quatrième partie est consacrée à la mise à l’épreuve des principes élaborés pour en étudier les conséquences dans le champ scolaire en mathématiques à partir de l’analyse des cahiers de bord des élèves au cours de trois périodes de l’année de troisième.

Sera abordée, la question de la validation de l’hypothèse de recherche qui est définie en lien direct avec les principes antérieurement élaborés. C’est pourquoi l’hypothèse de recherche trouve sa place dans cette partie. Si elle est inclus dans le chapitre réservée à la dimension méthodologique c’est pour souligner que les choix méthodologiques sont dépendants de la nature de la recherche et de celle de l’hypothèse de recherche considérée.