1. Quelques raisons « raisonnables et résonantes » de notre intérêt pour la question du vrai en mathématiques.

Lors de notre cursus scolaire et universitaire nous avons été initiée très tôt aux rudiments de la logique formelle, à la théorie des ensembles ainsi qu’à l’étude des structures présentées de façon axiomatique. Nous avons aussi assisté à la disparition de la géométrie traditionnelle (un effet sans doute du provoquant « A bas Euclide » de Dieudonné au colloque de Royaumont en 1959 au profit de l’algèbre linéaire ?). Nous avons été perpétuellement entraînée à la rigueur des énoncés de définitions ou de théorèmes, des écritures mathématiques et des démonstrations. Le cadre de la résolution de problèmes se situait dans le champ des mathématiques pures (vues à la manière bourbakiste sans doute et il est vrai que nous nous sentions bien en Analyse...). Cette précision, consistant à prendre en considération que nous sommes issue du fameux enseignement qualifié de « mathématiques modernes », suite à la réforme des années 70 initiée par la Commission Lichnerowicz de janvier 1967 .

Certes, le groupe Bourbaki s’est toujours refusé d’endosser quelques responsabilités quant à ladite réforme des mathématiques modernes arguant que ce qui lui importait, était le contenu des enseignements et qu’il se désintéressait de l’aspect didactico-pédagogique. Pour preuve, le projet initial consistait à rédiger un ouvrage se limitant à fixer les contenus de l’enseignement du certificat de calcul différentiel et intégral de la licence de mathématiques. Manuel qui entendait introduire résolument des contenus modernes et novateurs à propos de l’Analyse (fonctions analytiques ; séries de Fourier ; équations différentielles ; intégration ...).

Cependant, l’ambition initiale fut au cours des années largement dépassée, et le traité d’Analyse se transforma en l’écriture de 7000 pages contenues dans dix livres, renfermant chacun un certain nombre de volumes portant sur « Les Eléments de mathématique » (notons le singulier non anodin). Les premiers virent le jour dès 1940, pour se succéder jusque en 1970 à un rythme soutenu. Le dernier volume datant de 1998, 15 ans après la parution d’un précédent en 1983. La présentation axiomatique fut adoptée : énoncés clairs des axiomes de base par rapport auxquels les entités mathématiques en jeu devront se soumettre pour explorer les propriétés et les théorèmes qui en découleront par le biais, dès lors, de raisonnements théoriquement irréprochables. Apparaît alors cette visée bourbakiste de construire un édifice doté d’une profonde unité (clin d’œil au mathématique sans « s »du titre du traité), reposant sur le socle des ensembles et hiérarchisé en termes de structures abstraites (algébrique, topologique...).

On voit bien l’intention générale qui filtre à travers cette volonté d’articuler toutes les bases mathématiques d’une manière systématique : le traité, comme une vaste synthèse, une réorganisation des connaissances mathématiques déjà existantes sous couvert de modernité et d’abstraction. Il s’agit de l’exposé dogmatique d’une théorie (qui a été recueilli avec un franc succès parmi la communauté des mathématiciens, tout en n’occultant pas l’existence, parallèlement, de virulents détracteurs) .

Donc, si ce « mathématicien polycéphal » ne participa pas implicitement à la réforme, il l’influença indirectement puisque « l’influence de Bourbaki dans ces réformes s’est surtout marquée au niveau de la philosophie des mathématiques qui sous-tendait le choix et l’organisation des contenus mathématiques dans les nouveaux programmes : il s’agissait de bâtir le savoir mathématique des élèves dès les premières classes et même dès la maternelle comme un grand édifice unifié, sur la base de concepts généraux tels que ensemble, ordre, relation, groupe... » 39 .

Il est vrai que nous n’avons pas souvenir d’avoir entretenu de lien avec le réel au cours de ces entreprises de résolutions purement théoriques : pour autant, notre esprit en est-il ressorti plus honoré 40  ? Non, mais notre propension à naviguer dans les sphères conceptuelles s’en est trouvée que plus exacerbée, cela est une certitude et il est une banalité que de dire que ce rapport aux mathématiques a influencé et notre vision du monde et par là-même notre parcours professionnel. D’autant plus que au cours du XIXième et au début du XXième siècle la science ne cessa de vérifier qu’elle avait trouvé l’indubitable fondement empirico - logique de toute vérité. Avant que l’on eut compris que le positivisme logique était une chimère, la course à la recherche de la certitude de l’existence du vrai ultime obséda bien des esprits, et les retombées de la théorie d’A. Comte imprégnèrent longtemps les mentalités. Ce paradigme a vraisemblablement fait partie d’un de nos themata dès le début de notre parcours professionnel dans l’enseignement des mathématiques.

Conjointement s’ancrait de plus en plus profondément, pour nous, la conviction que la logique déductive constituait un fondement irrécusable dans la recherche de la vérité. Et ce, au travers d’une croyance forte, qui garantissait la congruence de pensée dans notre relation paternelle tout en nous permettant de nous affronter tout aussi vigoureusement, dès lors qu’était formulée à notre égard l’injonction sans appel, « manque de logique ». C’est ainsi que nous nous trouvions dans la position de Diderot 41 , comme « frappé[e] d’angoisse mathématique c’est-à-dire  privé[e] du pouvoir de penser personnellement les multiples et singulières voies par lesquelles les mathématiciens touchent à l’ensemble de nos préoccupations humaines » 42 .

Vécu plus psychologique cette fois-ci qui nous renvoyait à l’implication : de la logique découle la vérité. Implication qui entretenait directement une relation avec des questions ontologiques  puisqu’en étendant un mode de pensée fondé sur la déduction et la logique (tandem auquel était rattaché l’image du père), nous pouvions avoir un rapport au monde conforme et par là-même avoir un accès à la vérité : les mathématiques apportaient une réponse à la question de l’universel.

C’est, persuadée du pouvoir incontestable des mathématiques et de leur omniprésence dans tous les champs que nous nous lancions dans l’aventure de l’enseignement, en 1977, ignorant jusqu'à l’existence de l’émergence de la didactique et confondant activité avec activisme pédagogique, mais animée d’un profond désir d’afficher auprès de nos élèves « une présence non magistrale mais humaine » selon les mots de Cousinet.

Ce n’est qu’après de nombreuses années de pratique que nous avons découvert la didactique (la didactique des mathématiques plus particulièrement) et poussé plus profondément notre regard du côté de l’épistémologie, par l’intermédiaire de la découverte des Sciences de L’Education.

Notre mémoire de maîtrise porta sur la place de la démonstration chez les enseignants de 4ième et de 3ième de collège. Il s’agissait de comprendre pourquoi certains enseignants accordaient la dévolution de la preuve à leurs élèves et d’autres non et quel sens cela pouvait-il avoir. Notre hypothèse de recherche était ainsi formulée: le fait que le professeur de mathématiques démontre ou fasse démontrer, dépendrait de sa conception en matière d’apprentissage des mathématiques et par-là même, des conceptions de sa discipline. Première orientation de recherche qui fait ressortir notre intérêt pour comprendre cet amalgame entre déduction logique, preuve, et certitude dans le champ de l’enseignement des mathématiques. Se focaliser sur la place de la démonstration (versus

enseignant), c’était déjà s’installer dans l’étude du rapport au savoir dans sa « dimension identitaire », c’est-à-dire du point de vue de l’image que les enseignants confèrent à cette discipline.

L’amorce de cette recherche s’axait sur l’idée de vérité en mathématiques qui découlait tout naturellement semble-t-il du projet didactique (mais pas seulement) qui « correspond ainsi à ce souci de mieux comprendre et de mieux expliquer le rapport qu’entretient un apprenant singulier avec un savoir particulier » 43 . Le rapport au savoir dont il s’agit est bien ici entendu comme le rapport aux mathématiques des enseignants, appréhendé à travers un rapport à un outil spécifique de leur discipline, la preuve. Et l’on discerne déjà en filigrane, que ce rapport à un outil est examiné pour éclairer à son tour, un autre rapport à un objet qui résulte de l’action de l’outil : l’accès au vrai. Foisonnèrent alors des questions : les enseignants qui démontrent ne considéreraient-ils pas que la démonstration est un chemin d’accès vers la certitude, dont eux, seraient les seuls détenteurs ? Ou encore, les enseignants qui font démontrer leurs élèves ne seraient-ils pas plus tentés de penser qu’avant d’accéder à une certitude, il faut d’abord cheminer vers elle ?

Lorsque nous entamions notre DEA, l’épistémologie poppérienne faisait partie de notre paysage théorique. Le retentissement du théorème de Gödel qui établissait l’indécidabilité logique au sein des systèmes formalisés complexes, nous avait permis de concevoir de plus en plus et de mieux en mieux la crise des fondements de la connaissance mathématique et nous abordions en toute tranquillité l’idée que l’ordre fait place à une combinaison énigmatique d’ordre, de désordre et d’organisation.

C’est dans ce climat mental que naquit notre problématique de DEA ainsi posée : quels sont les enjeux et les déterminations qui se cachent derrière l’attachement à l’idée de vérité chez les professeurs de mathématiques de collège ?

L’idée de vérité était présente et notre recherche prolongea celle effectuée lors de notre maîtrise tout en amorçant celle de notre thèse (bien qu’en marquant une rupture dont nous nous expliquerons par la suite).

Lors, nous avancions comme hypothèse de recherche, que cet attachement existe car derrière une valeur attribuée à la vérité, donc à la maîtrise de la logique, se cache un intérêt fort pour des valeurs d’ordre moral. Nous entrions résolument du côté du sens que révélait ce rapport à l’idée de vérité chez les enseignants et c’est pour cela que nous

nous sommes essayée à faire intervenir temporairement et à ce moment-là, une autre facette de notre cadre théorique, celle qui interpellait le champ philosophique. Car il s’agissait de comprendre la question du rapport accordée à la logique et aux valeurs

morales. Le rapport au savoir s’orientait vers un rapport à la structure d’une discipline enseignée. Nous touchions là, la question des fondations des mathématiques. Appréhender un savoir, (les mathématiques) c’est penser les questions auxquelles il répond, les méthodes que ce savoir se donne pour atteindre les réponses, ainsi que les grandes notions qui le structurent. Notre rapport aux mathématiques s’inscrit dans la recherche de réponses à la question qui a toujours préoccupé les hommes et qui concerne la quête du vrai.

Mais le rapport au savoir est aussi un rapport objectal, affirme M. Develay qui écrit que « le rapport au savoir n’est pas un rapport de superficialité. Il est un rapport de profondeur » 44 Il est tout aussi limpide de comprendre que notre choix de l’enseignement des mathématiques n’a pas été fortuit mais bien en réponse à des questionnements personnels qui nous hantaient déjà à l’époque, et en relation directe, avec l’espoir de pouvoir aborder des réponses à des interrogations intimes. Le rapport aux mathématiques a renvoyé pour nous à la possibilité de rivaliser avec l’image paternelle, symbole de logique, d’absolu et d’intégrité, et d’assouvir un fantasme d’une vision du monde comme creuset d’idéalités cohérentes.

Le rapport au savoir est en relation avec les questions ontologiques. Comme le souligne M Develay, les mathématiques n’ont pas toujours existé. En tant que discipline, il a fallu plusieurs siècles pour y parvenir comme l’ébauche le Larousse 1997 qui fait état de deux naissances des mathématiques : « en premier s’élaborent donc des mathématiques pratiques, « art » des calculs, ensemble de techniques et de savoir-faire, outils du « gestionnaire » et de « l’ingénieur ». Leur origine remonte aux civilisations babyloniennes et égyptiennes, où ont été retrouvées de multiples traces de ces pratiques des algorithmes, de l’arpentage, etc. Mais ces civilisations n’en ont jamais tiré un corps de doctrine. C’est avec l’éclosion des mathématiques comme science des démonstrations rationnelles, mettant en œuvre une démarche hypothético-déductive et non plus simplement un ensemble de « recettes » de calcul ou de manipulations de figures, qu’apparaît ce qui, pour nombre de praticiens, constitue la seule mathématique. Celle-ci trouve son origine dans la civilisation hellène dont Thalès ou Pythagore furent les premiers représentants à partir du VIième siècle avant JC ».

En revanche, poursuit M. Develay, « les interrogations qui en sont à l’origine ont toujours existé et perdurent. [...] Il serait sans doute utile de montrer à quoi sert le savoir enseigné

(à autre chose, découvriraient alors les élèves qu’à passer des examens) en regardant chaque discipline à travers les interrogations qui lui sont propres. Ce serait une manière de philosopher que d’aller à la rencontre des fondements anthropologiques de chaque discipline » 45 .

Autrement dit, s’intéresser à l’enseignement de l’idée du vrai sous l’angle du rapport au savoir (rapport aux mathématiques qui en découle) en lien avec des questions ontologiques participe à ce que les élèves découvrent le sens de ce qui leur est enseigné pour leur donner l’occasion de penser leur rapport au monde.

C’est pourquoi l’image des mathématiques que nous défendons s’associe à celle que décrit

Hannaford quand il livre que « si nos élèves vivent notre enseignement comme une aventure personnelle au pays de l’intelligence et de la discipline, héritée de toute l’humanité et partagée avec elle, c’est l’idée démocratique elle-même que nous leur enseignons, en même temps que la confiance en eux, la liberté, le respect des autres et la générosité » 46 . Et pour la renforcer (par opposition), nous empruntons au même auteur les propos qui suivent, « mais si nous enseignons les mathématiques comme un système fermé - fermé d’emblée c’est-à-dire trouvant dès le départ sa propre fin dans une réalité dépassant l’entendement de la majorité, c’est alors un modèle très différent que nous imposons à nos élèves. Au lieu de liberté, nous leur montrons des limites. Au lieu de confiance en eux-mêmes, nous leur enseignons la subordination. Au lieu de générosité, nous privilégions l’obéissance. Au lieu d’un monde de possibilités différentes, depuis les bornes les plus étroites jusqu'à la plus entière liberté (et où ils peuvent exercer leur choix, en acceptant ses conséquences naturelles), nous ne leur offrons qu’une seule combinaison d’idées, découlant toutes d’un seul ensemble de règles se suffisant à lui-même, en l’appuyant de notre puissante autorité morale, logique et intellectuelle. [...]. Les mathématiques enseignées ainsi sont d’essence totalitaire. Par voie de conséquence logique et analogique, elles justifient le recours aux idées totalitaires dans d’autres domaines, particulièrement, bien - sûr, en politique, où l’autorité absolue cherche sans cesse à prendre la place de la pensée et de la responsabilité autonome ». 47 Il est donc clair qu’en ce qui nous fondons ce rapport au monde dans l’association mathématiques et idée de « socialisation démocratique » 48 .

Le lecteur aura remarqué le glissement successif des termes : certitude, vérité et vrai, glissement qui serait finalement à considérer comme des indicateurs de notre propre changement sous l’angle du rapport aux mathématiques qui nous a traversée tout au long de notre parcours. Ces pôles d’intérêt qui se sont succédés au cours de nos recherches à travers la question du rapport au savoir dans ses quatre dimensions témoignent de deux faits.

Le premier met en exergue la métamorphose au sujet de notre conception même des mathématiques, tant du point de vue de leur nature que de leur visée et de leur enseignement, et qui résulte du déplacement progressif de notre regard vers le champ de l’épistémologie et de la didactique. L’idée de certitude a laissé la place à celle de vérité. En somme, à partir de la conviction pleine et entière de ce que l’on tient pour vérité, nous nous sommes penchée sur l’idée de vérité qui introduit la nuance supplémentaire de conformité avec ce qui est ou ce que l’on définit comme tel. La préoccupation de prendre en compte le réel construit en regard de la vérité a pris le pas sur la croyance non questionnée de ce qui a valeur de vérité (certitude). Au risque que cette idée de vérité puisse paraître comme trop relever (parfois) de l’ordre du métaphysique. Car à l’instar de Prigogine, nous sommes convaincue de la nécessité d’établir un pont entre l’expérience philosophique et l’expérience scientifique puisque la science nous donne une idée de l’univers dans lequel nous sommes. Mais la position de l’homme dans l’univers sera toujours le point de départ de la philosophie . Aussi délimiterons-nous notre objet de recherche à « l’idée du vrai » dans le cadre de l’enseignement des mathématiques, certes, tout en ne nous détachant pas complètement du regard philosophique, dans la manière de l’aborder (d’autant plus si l’on tient compte d’un des enjeux de notre recherche).

Dès lors user de l’expression « l’idée du vrai » 49 pour cerner notre objet d’étude participera d’un parti pris méthodologique tout imprégné d’une vigilance épistémologique.

Et c’est sur cette tonalité que nous choisirons de tracer les grandes lignes de questionnement que réfracte cette question du vrai, à l’enseignante que nous sommes.

Nous faisons nôtre la pensée de Charlot quand il dit qu’« il n’est pas de savoir qui ne soit inscrit dans des rapports de savoir. Le savoir est construit dans une histoire collective qui est celle de l’esprit humain et des activités de l’homme, et il est soumis à des processus collectifs de validation, de capitalisation, de transmission ». En tant que tel, il est le produit de rapports épistémologiques entre les hommes. Toutefois, les hommes entretiennent avec le monde, et entre eux (y compris lorsqu’ils sont «hommes de science ») des rapports qui ne sont pas seulement épistémologiques. Aussi les rapports de savoir sont-ils, plus largement des rapports sociaux. Ces rapports de savoir sont nécessaires pour constituer le savoir mais aussi pour le soutenir après qu’il a été construit : un savoir ne reste valide que tant que la communauté scientifique le reconnaît comme tel, qu’une société continue à considérer qu’il s’agit d’un savoir ayant de la valeur et méritant d’être transmis » 50 . Dit à la manière de Schlanger 51 , le savoir est une relation, un produit et un résultat.

Notes
39.

SIERPINSKA A. - Les « math. modernes » à l’école in pour la Science p.90

40.

Nous faisons allusion au titre de l’ouvrage de Dieudonné «  Pour l’honneur de l’esprit humain » ; titre qui émanait d’une lettre de Jacobi adressée à A.M. Legendre en 1830 : « [...] M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question de système du monde ».

41.

Nous mentionnons la rencontre d’Euler avec Diderot quand Euler lui déclara « Monsieur ( a + bn ) / n = X donc Dieu existe, répondez ! »

42.

GUILLEN M. - Invitation aux mathématiques . Des ponts vers l’infini - Edition Albin Michel . 1995 (traduction française) p.8

43.

DEVELAY M. - Vers une socialisation démocratique - Coordination M. Tozzi - in Cerfee n° 15. Université Paul Valéry - Montpellier III . 1998. p.127

44.

DEVELAY M. opus cit. p.128

45.

DEVELAY M. opus cit p. 129

46.

HANNAFORD C. in Bulletin de l’APMEP n° 423 Septembre - Octobre 1999 p. 485 et 486

47.

Ibidem p. 486

48.

Nous empruntons le titre à M. Tozzi

49.

Pour des questions de style (éviter des répétitions ), les expressions « question du vrai », ou « notion de vrai » ou « l’idée  de vérité » pourront se substituer à « l’idée du vrai ». Le refus de l’usage de l’expression « le vrai » relève d’un parti pris théorique.

50.

CHARLOT B. - Du Rapport au Savoir - Eléments pour une théorie - Edition Economica . Collection Anthropos Poche Education . 1997 . p 73.

51.

SCHLANGER J. - Une théorie du savoir - Edition Vrin. 1978. p.16