Construction de principes (par les élèves) qui permettent de valider une preuve 265 à travers le débat mathématique.

Cette situation se veut répondre aux principes clés suivants (en suivant la nomenclature posée précédemment) :

  • 2 d ) rapport entre didactique, pédagogie et mathématiques.
  • 4 d ) co élaboration de manière constructive des critères de validation d’une preuve et rôle de la communauté dans l’exercice de validation.
  • 6 d) entraîner à la recherche conjointe du vrai et du faux.
  • 2 m) faire vivre l’idée du vrai provisoire.
  • 3 m) prise en compte de la dimension historique (au sens de construction sociale) dans la construction du vrai : notion de norme ; rôle des prémisses assumées au départ.
  • 2 p) caractère paradigmatique du vrai.
  • 3 p) intégration du temps dans les pratiques.
  • 4 p) accorder des valeurs de vérité aux productions écrites et orales des élèves.

Schéma des scénarios de cours, dans leur grandes lignes (durée : trois mois).

Objet d’enseignement qui sert de support à ce travail sur l’idée du vrai et appartenant au programme officiel : l’élaboration du théorème des milieux 266 .

Au départ un énoncé : tracer plusieurs triangles. Dans chaque triangle, tracer la droite qui joint les milieux de deux côtés. Quelles conjectures peut-on faire à partir de ces figures ? Que proposer pour que le résultat soit validé par tous ?

  1. travail individuel pour émettre une conjecture.
  2. travail par groupes de trois pour échanger et trouver un accord pour l’énoncé de cette conjecture ; réflexion sur « que faire une fois la conjecture posée ? ».
  3. échanges sur le que faire en classe dialoguée ; prise de décision commune : rédiger une preuve pour valider la conjecture.
  4. chaque groupe doit élaborer une preuve.
  5. synthèse de toutes les propositions de preuves (récapitulation faite par l’enseignant sur rétro projecteur, en dehors des cours).
  6. en classe dialoguée, transmission de la synthèse et émission des critiques par rapport aux propositions de preuves faites par tous les groupes (récapitulation faite par l’enseignant sur rétro projecteur, en dehors des cours).
  7. en travail individuel, classer par grandes catégories toutes les critiques; confrontations et échanges par groupes de deux.
  8. en classe dialoguée remontée des classifications de tous les groupes en lien avec la notion de preuve ; prise de décision sur les classes de critiques à adopter ; essai de nomination de critères.
  9. reconstitution des groupes de trois au départ : en fonction des catégories de critiques élaborées et nommées par la classe reprendre la rédaction de la preuve.
  10. retour aux points 5 et 6.
  11. propositions de preuves validées.
  12. rédaction écrite des critères de validation d’une preuve que la classe a trouvé : document qui sera utilisé dès lors en 4ième et en 3ième.

En annexe 4 nous rendons compte des productions des élèves des classes de 4ièmeA et 4ième E.

Notes
265.

Rappelons que dans les programmes officiels la notion de construction d’une preuve est l’objet nouveau en classe de quatrième : jusque là, les élèves sont familiarisés avec les justifications ou les déductions courtes.

266.

Nous évoquons la partie directe du théorème des milieux qui s’énonce ainsi :  «  si une droite passe par les deux milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle ».