Les successeurs de Poincaré

En se bornant au plan des mathématiques, la question des origines prend un sens différent, car des filiations beaucoup plus directes peuvent être établies. De Poincaré à G. D. Birkhoff (1884-1944) la parenté sur le plan des mathématiques est grande et bien connue. M. Morse (1892-1977), élève de Birkhoff, affirmait que "Poincaré était le vrai professeur de Birkhoff" ¹⁶ , alors qu’il ne l’a jamais rencontré. La célèbre théorie des systèmes dynamiques construite par Birkhoff est, en effet, un aboutissement du programme de Poincaré. Certes, Birkhoff inclut des éléments nouveaux, parachève l’œuvre du maître avec une vision topologique très poussée, mais l’esprit est le même, les résultats de Poincaré sont parfaitement intégrés à l’édifice, dont son célèbre Dynamical Systems (1927). Les travaux du mathématicien américain S. Smale (né en 1930) s’inscrivent en ligne directe de cette tradition, avec son article "Differentiable Dynamical Systems" de 1967. Les raccourcis que nous prenons ici ne doivent pas donner l’illusion d’une histoire si "linéaire". Cette "optique systèmes dynamiques", dont nous avons vu qu’elle a été étudiée par Dahan et Aubin dans plusieurs travaux, nous donne cependant l’occasion de replacer Poincaré dans une seconde voie de l’histoire des sciences du XXème siècle. En un mot, Poincaré est l’initiateur de cette branche des mathématiques, cela est un point très clair. Pour autant, le terme de "précurseur" n’est pas a priori adapté à la situation : Poincaré n’a pas anticipé, mais a bien construit, lancé, initié ce type de recherche (qu’il a baptisée "étude qualitative des équations différentielles" et qui est devenue, en s’élargissant, "étude des systèmes dynamiques") ¹⁷ .

Dans cette perspective d’une histoire des mathématiques, nous pourrions également intégrer des filières connexes aux théorisations des systèmes dynamiques. En parallèle à Birkhoff et Smale, il en existe une, passant par A. Kolmogorov (1903-87) ¹⁸ . Lors du congrès international des mathématiciens en 1954 ¹⁹ , il brosse un rapide historique des mathématiques des équations différentielles et de la Mécanique. Dans les problèmes d’intégration des équations différentielles, très importants au XIXème siècle, il souligne que le rôle de la topologie est apparu très nettement grâce à Poincaré. Kolmogorov inscrit ses propres résultats, dont celui à la base du célèbre théorème KAM (des noms de leurs auteurs Kolmogorov-Arnold-Moser), dans une perspective qu’il fait lui-même remonter à Poincaré. Ces affirmations confirment l’image d’un Poincaré présenté comme un initiateur de problèmes élaborés ou résolus par ses "successeurs" mathématiciens. Il est inutile de multiplier les exemples pour l’instant.