Chapitre 1. Poincaré, de la Mécanique céleste aux mathématiques des équations différentielles

Au fil du bref parcours des hommages rendus à Poincaré, plusieurs facettes de son travail sont apparues. Si nous devions pointer un élément clé des travaux de Poincaré pour le développement de la science du chaos au XXème siècle, il nous faudrait choisir la perspective nouvelle qu’il a inaugurée en matière d’étude des équations différentielles : le point de vue qualitatif, géométrique, local et global. Le paragraphe précédent nous a livré plusieurs indices sur cet ensemble colossal de méthodes et de résultats mathématiques. Deux étapes essentielles de la construction de cet édifice viennent d’être citées (par Minorsky) : une série de quatre mémoires intitulés "Sur les courbes définies par une équation différentielle" (1880-1886) et son ouvrage très célèbre Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, publié en trois tomes (1892, 1893, 1899). Son mémoire victorieux du concours Oscar II en 1890 est une étape intermédiaire.

Quelles sont les innovations proposées par les travaux de Poincaré et de quelle manière s’inscrivent-elles dans le contexte scientifique, intellectuel de cette fin de XIXème siècle ?

Arrière plan de nombreuses considérations mathématiques de Poincaré, la Mécanique céleste en est également un stimulant. Après avoir précisé ce fond problématique et son impact sur les recherches entamées par Poincaré, nous pourrons entrer dans le détail de l’analyse parfois technique, des travaux mathématiques, sans tomber dans une reconstruction logique de la découverte scientifique. Un aperçu des réflexions de ses contemporains nous permettra alors d’apprécier l’originalité de la pensée de Poincaré et comment les changements qu’il suggère sont enregistrés.