Enfin, ces questions de termes séculaires et de convergence sont liées au problème des petits diviseurs en Mécanique céleste. En effet, les efforts pour éliminer les termes séculaires ont mis en exergue l’éventualité de résonances : une petite force appliquée à une fréquence précise peut provoquer des oscillations d’amplitude importante. C’est le cas du problème Soleil-Jupiter-Saturne, comme l’analyse de Laplace l’a révélé 43 : l’interaction des deux planètes induit des effets qui s’accumulent dans le temps et peuvent aboutir à une reconfiguration complète des trois astres. La résonance, en termes mathématiques, est la conséquence de l’existence d’une relation arithmétique entre les fréquences du mouvement moyen de Jupiter et Saturne. Leur rapport n 1 /n 2 est d’environ 2/5. Or le calcul des coefficients des séries (de Lindstedt notamment) implique la division par des termes du type 5n 1 -2n 2 , qui peut devenir très petit (donc d’inverse très grand) : c’est ce que l’on appelle un problème de petits diviseurs.
Dans le cas de la Théorie de Jupiter et de Saturne, en 1785: [LAPLACE, P.S., 1785]. Par un développement plus poussé que ses prédécesseurs dans les séries utilisées, Laplace a montré que de tels développements sont insuffisants pour expliquer les inégalités périodiques et séculaires de Jupiter et Saturne. Il affirme ensuite avoir repéré l’origine de ces inégalités : elle se trouve dans le rapport proche de 5 à 2 des périodes des moyens mouvements des deux planètes, causant les perturbations des orbites avec la bonne période (environ 900 ans).