d. Les courbes définies par une équation différentielle

Les travaux de Poincaré en Mécanique céleste et mathématiques des équations différentielles sont imprégnés de tous ces débats. Son intérêt pour les équations différentielles remonte à ses tous premiers pas en recherche mathématique : sa thèse, soutenue en 1879 sous la direction de Hermite, traite de l’étude des intégrales des équations différentielles partielles au voisinage d’un point singulier ⁴⁹ . D’après Hadamard, "sa Thèse marque surtout un progrès essentiel au premier point de vue [...] celui de l’étude locale des solutions" ⁵⁰ .

Ce ne sont pourtant là que ses débuts et la décennie suivante va montrer toute la virtuosité de Poincaré en matière d’équations différentielles. La suite d’articles intitulée "Sur les courbes définies par les équations différentielles" constitue sa première publication vraiment essentielle ⁵¹ . La série de mémoires est composée en deux temps : deux mémoires en 1881-82 ⁵² et deux autres en 1885-86 ⁵³ . Ils contiennent les éléments de base de sa théorie qualitative des équations différentielles et correspondent aux mémoires cités par Minorsky ⁵⁴ . L’idée présidant à cette démarche est de considérer, non pas les fonctions solutions des équations, mais les courbes représentant les solutions. Plusieurs paramètres montrent l’originalité du choix de Poincaré.