En 1886, le problème de la stabilité a évolué, sans pour autant être résolu. De l’étude du quatrième comportement possible au voisinage d’une orbite périodique, Poincaré dégage une condition nécessaire pour assurer la stabilité, grâce aux invariants intégraux. Il n’entreprend pas encore de construire une théorie pour ces invariants, mais il en a déjà reconnu l’importance dans un autre article de 1886 74 : si les séries de Lindstedt permettent d’évacuer les termes séculaires 75 , c’est grâce à la présence d’un invariant intégral (ce qui lui permet d’ailleurs d’élargir le cadre de validité de la méthode de Lindstedt). Dans son mémoire de 1890, Poincaré décidera d’établir une théorie de ces invariants intégraux, car ils revêtent une importance considérable dans la question de la stabilité.
La conclusion du mémoire de 1886 laisse comprendre que Poincaré a également ciblé les deux problèmes déterminants en Mécanique céleste, la question des petits diviseurs et la convergence uniforme des séries :
‘"[...] on comprendra sans peine à quel point les difficultés que l’on rencontre en Mécanique céleste, par suite des petits diviseurs et de la quasi-commensurabilité des moyens mouvements, tiennent à la nature même des choses et ne peuvent être tournées. Il est extrêmement probable qu’on les retrouve, quelle que soit la méthode que l’on utilise." 76 ’