1.4. Premières conclusions

Le point de vue de Poincaré sur les équations différentielles et le problème des trois corps, marqué par le qualitatif et une perspective globale, donne des résultats très impressionnants. Il vient résoudre des problèmes très anciens, ou au moins apporte des indices très significatifs sur la convergence des séries ou l’absence d’intégrales analytiques supplémentaires dans le problème des trois corps. Il renouvelle considérablement les questions sur le problème des trois corps, et la stabilité du système solaire. Pour cela, il a adopté une démarche : définir des classes de comportements et étudier leur agencement dans l’ensemble des comportements dynamiques possibles. Les orbites périodiques sont le levier pour analyser le problème et Poincaré introduit ses outils et ses méthodes, comme les sections transverses, permettant de conduire l’analyse selon son point de vue. Ce sont des démarches reprises couramment dans la science du chaos, que certains scientifiques définissent même en termes d’orbite homocline.

Parallèlement, Poincaré a laissé une trace plus mineure dans le domaine des théories des bifurcations ; elles sont importantes tant dans les théories des oscillations que dans les théories du chaos. Poincaré a abordé le sujet dans deux contextes différents : le problème des figures d’équilibre de masse fluide en rotation et dans le cadre de l’étude des solutions périodiques du problème des trois corps. Ces résultats sont doublement intéressants. D’abord, ils inaugurent la question des bifurcations, poursuivie et développée considérablement au XXème siècle. Deuxièmement, ils confirment la portée d’un point de vue global et qualitatif en mathématique. Ces quelques précisions montrent à quel point il est tentant de rapprocher Poincaré de la science du chaos et d’en faire un "précurseur".