La fin du XIXème siècle nous a légué quelques travaux étendus en théorie mathématique de la stabilité dont le plus essentiel est celui du mathématicien russe A. Lyapounov. S’il est incontestablement reconnu comme tel au XXème siècle, sa percée dans le champ mathématique a été lente. Son mémoire de 1892, synthèse des notions de stabilité de Lyapounov, connaît un succès très mitigé hors de Russie, tant qu’il n’existe que la version publiée en russe. La traduction complète en 1907, en français 135 , révèlera les méthodes de Lyapounov au public savant.
Ce travail est un complément important aux travaux de Poincaré, précisant les notions de stabilité et les conditions de stabilité autres que la "stabilité à la Poisson". De plus, Poincaré a inspiré une partie des réflexions de Lyapounov 136 : il a utilisé les travaux de Poincaré dans son mémoire et continue de les suivre après sa publication 137 . Cependant, l’influence n’est pas réciproque puisque Poincaré ne le cite pas lorsqu’il aborde les problèmes de stabilité, et le mentionne une fois seulement pour ses contributions en matière de figure de la Terre (un problème de bifurcation en l’occurrence 138 ).
Voir la traduction [LIAPOUNOFF, A., 1907] : elle a été réalisée par un ingénieur (de la Marine) français, Edouard Davaux et publié aux Annales de la Faculté des sciences de Toulouse. Lyapounov a participé activement à cette traduction.
Lyapounov, dans la préface de la traduction, affiche l'influence de Poincaré à propos des études de stabilité via les procédés de linéarisation. Il affirme : " L'essai unique, autant que je le sache, de solution rigoureuse de la question appartient à M. Poincaré, qui, dans le Mémoire remarquable sous bien des rapports Sur les courbes définies par les équations différentielles […] et, en particulier, dans ses deux dernières Parties, considère des questions de stabilité relatives au cas des systèmes d'équations différentielles du second ordre […]Bien que M. Poincaré se borne à des cas très particuliers, les méthodes dont il se sert permettent des applications beaucoup plus générales et peuvent encore conduire à beaucoup de nouveaux résultats. C'est ce qu'on verra par ce qui va suivre, car, dans une grande partie de mes recherches, je me suis guidé par les idées développées dans le Mémoire cité.", [LIAPOUNOFF, A., 1907], p. 205.
"Pendant l'impression de cet Ouvrage, laquelle s'étendit à plus de deux années, ont paru deux Ouvrages très intéressants de M. Poincaré, qui traitent de questions se rapprochant beaucoup de celles que j'ai considérées. Je parle de son Mémoire sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique, paru dans Acta Mathematica […] peu de temps après que j'eus commencé à faire imprimer mon Travail, ainsi que du premier Volume, qui vient de paraître, de son Traité intitulé : Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, Paris, 1892", [LIAPOUNOFF, A., 1907], p. 207.
Nous renvoyons à l’annexe sur le thème des bifurcations, p. 744.