Les causes "très petites"

La première situation est celle d’un cône sur sa pointe et c’est à la suite de cet exemple qu’intervient le couplet "Une cause très petite...". Le second exemple est tiré d’une remarque de météorologie : l’atmosphère en équilibre instable (en présence d’un cyclone par exemple) ne permet pas de faire des prévisions car "un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là" ¹⁶⁸ . La possibilité d’avoir un grand effet à partir d’une petite cause conduit, selon Poincaré, à des situations que nous appelons "hasard". Elles sont associées à des questions d’équilibre instable. Deux autres exemples étayent son analyse : la distribution des petites planètes sur le zodiaque et la roulette.

Pour Poincaré, cette définition ne suffit pas à expliquer pourquoi le hasard répond à certaines lois. La raison est ailleurs, comme il l’explique pour le jeu de roulette. Dans le jeu, le résultat final dépend de l’impulsion initiale et de la probabilité d’avoir telle ou telle impulsion. Or la probabilité que l’impulsion initiale soit entre a et a+ ε est identique à celle correspondante à l’intervalle [a+ ε , a+2 ε ], si ε est assez petit : il s’agit d’une propriété mathématique commune à toute fonction analytique représentant la probabilité de l’impulsion. Au final, si la situation [a, a+ ε ] fait apparaître le rouge et [a+ ε , a+2 ε ] le noir, globalement, la probabilité de tomber sur rouge est la même que celle de tomber sur noir. Les données du problème sont contenues dans la probabilité de l’impulsion du départ. Ces données pourtant sont gommées dans le résultat final, car la probabilité rouge / noir ne dépend pas des caractéristiques singulières de la probabilité initiale, mais uniquement d’une propriété commune à toutes les distributions de probabilité de la donnée initiale. La situation est analogue pour la distribution des planètes. Pour Poincaré, c’est une raison valable à l’existence de lois du hasard.