Le théorème de récurrence et l’objection de Zermelo-Planck

Un autre paradoxe soumis à Boltzmann quelques années plus tard, en 1896, utilise un des résultats énoncés par Poincaré en 1890, dans le cadre du problème des trois corps : le théorème de récurrence. Episode de l’histoire des sciences qui est désormais assez connu, nous en donnons les grandes lignes ici ²²³ .

Zermelo affirme qu’en vertu du théorème de récurrence un système mécanique doit revenir infiniment souvent, aussi près qu’on veut de la situation initiale. Pour lui, il y a contradiction avec le second principe. L’attaque, inspirée par Planck, vise avant tout la vision statistique du second principe, qu’il considère pour sa part comme une "vraie" loi de la physique (non une loi valable statistiquement). Elle participe d’un rejet des conceptions de Boltzmann, en l’occurrence sa vision mécaniste, atomiste du monde ²²⁴ .

Boltzmann ne nie pas l’importance des récurrences, qu’il considère en fait comme des fluctuations nécessaires et qui sont tout à fait attendues dans un processus probabiliste. D’un point de vue technique, il calcule le temps de récurrence effectif pour un gaz et montre qu’il est gigantesque et inobservable pour les systèmes communs. L’objection de récurrence est en définitive retournée par Boltzmann au profit de ses conceptions.