Poincaré et la théorie du chaos

Du fait de ses nombreux travaux qualitatifs sur les équations différentielles, on peut facilement légitimer l’idée que Poincaré est un initiateur d’une partie des théories du chaos, en accord avec l’historiographie. Dans cette perspective, il est sous-entendu que la théorie du chaos est un ensemble d’outils, dont les parties mathématiques ont été inaugurées par Poincaré. Deux instruments mathématiques, la section transverse (appelée justement section de Poincaré) et l’application de premier retour (application de Poincaré) sont à la base de l’étude des systèmes dynamiques. La notion de bifurcation est une notion devenue essentielle dans les études des systèmes dynamiques et du non linéaire. Mais plus que des éléments mathématiques précis, c’est l’esprit qualitatif, mêlant la théorie des équations différentielles à l’Analysis Situs, la topologie, la géométrie, qui a été instillé par Poincaré dans cette voie de recherche. Toute la branche des mathématiques des systèmes dynamiques a hérité de cette évolution majeure. Nous nous accordons avec les travaux de Dahan et Aubin 308 à ce sujet. Nous ajouterons que l’esprit qualitatif est persistant et il évolue, naturellement, au cours du XXème siècle, selon les nouvelles contraintes de la science. Nous montrerons en quoi Poincaré a su "montrer une voie", et comment ses outils, épaulés par l’ordinateur, se sont transformés en outil puissant de caractérisation de la dynamique.

Notes
308.

Voir l’article le plus récent : [AUBIN, D., DAHAN DALMEDICO, A., 2002].