b. Les filiations et les prolongements

Plusieurs inspirations et filiations importantes transparaissent de ces textes et nous permettent de comprendre leur choix de proposer une nouvelle terminologie. Les auteurs de "Period three implies chaos" insistent d’abord énormément sur le travail d’Edward Lorenz. La primauté du travail de Lorenz se retrouve chez tous les scientifiques évoqués Li, Yorke, May (bientôt Rössler et beaucoup d’autres…). C’est son travail sur les itérations, produit au départ pour l’analyse des équations différentielles issues de problèmes de convection, qu’ils mettent en exergue. La non périodicité avait déjà une grande importance dans l’analyse de Lorenz, dans la mesure où elle était un outil pour aborder la question de la prédictibilité à long terme en météorologie, sujet de son plus célèbre article de 1963 ³⁸⁶ . Ce travail est parvenu dans les mains de Li et Yorke par l’intermédiaire d’Alan Faller, fasciné par ces résultats. Celui-ci était alors professeur de dynamique des fluides expérimentale et océanographe, au sein de l’IFDAM ("Institute of Fluid Dynamics and Applied Mathematics") à l’Université du Maryland, où travaillait Li et Yorke et où une recherche pluridisciplinaire est encouragée ³⁸⁷ . Dans leur article Li et Yorke s’intéressent uniquement à la partie traitant des mathématiques des itérations. Dans son article de 1963 le plus connu, et dans un suivant de 1964, Lorenz montre que ce type de modèles pourtant très simples peut avoir des comportements très complexes ³⁸⁸ .

Les autres références les plus marquantes couvrent deux types de résultats. Les expériences, au sens de l’ensemble des calculs numériques réalisés sur des itérations comme celles qu’ils considèrent, et les résultats mathématiques à proprement parler, touchant à ce genre particulier de systèmes dynamiques. Au premier rang des résultats numériques se trouvent Lorenz et le groupe de Stanislaw Ulam, Paul Stein, Myron Stein et Nicolas Metropolis du laboratoire de Los Alamos ³⁸⁹ . Ceux-là proposent également une courte analyse mathématique des calculs numériques. Remarquons deux choses : parmi les résultats exploités, on trouve des calculs numériques sur la fonction logistique et l’exemple est repris par Li, Yorke et May pour illustrer abondamment toute leur théorie ³⁹⁰ . Le travail de Lorenz s’inscrit pour cette même raison dans leur corpus. Deuxièmement, le travail de Metropolis, Stein et Stein de 1971-73, est reconnu pour sa description symbolique des itérations et pour le phénomène de cascade de doublements de période, comme May l’a signalé. Ils trouvent donc tout naturellement leur place dans le cadre général où s’inscrivent Li, Yorke et May.

Sur le plan plus théorique, le travail de S. Smale ("Differentiable dynamical systems" de 1967) est cité car il fournit à la fois un exemple d’application d’une méthode (étudier l’action de l’itération sur des séries d’ensembles) et une illustration d’un résultat assez proche de ce que Li et Yorke veulent montrer : dans le "fer à cheval" de Smale il y a un nombre infini de points périodiques ³⁹¹ . Loin d’être anecdotique, ceci est peut-être l’élément mathématique le plus significatif du contexte général de cet article de 1975.

En outre, à un niveau plus global, le travail est affilié aux mathématiques des systèmes dynamiques (les itérations étant un exemple de système dynamique), en particulier dans les aspects de théorie ergodique des systèmes dynamiques. Li et Yorke (avec leur collègue mathématicien Andrzej Lasota) font des recherches dans cette branche des mathématiques, ce qui se retrouve dans les références citées et en particulier dans plusieurs de leurs propres travaux, antérieurs ou en voie de publication ³⁹² . A côté de la notion de "fer à cheval", nous démontrerons en fait toute l’importance de cette préoccupation pour l’ergodicité.

Un vaste ensemble de travaux nourrit donc l’analyse de Li et Yorke. L’article de 1975 n’a rien d’une création ex nihilo, comme on pouvait s’y attendre. Au contraire il s’appuie sur toute une histoire et sur des travaux tant numériques que théoriques. Si quelques noms très classiques de la préhistoire du chaos ont été mentionnés, il faut noter l’absence de celui de Poincaré. Force est d’admettre que son travail n’a pas de connexion très directe avec le résultat : il s’agit d’itérations, non d’équations différentielles, et les méthodes de Poincaré ne sont pas utiles ici. Néanmoins à travers Lorenz ou Smale on comprendra qu’il est présent par l’esprit et les travaux qu’il a pu inspirer ³⁹³ .

La nouveauté de leur théorème se trouve dans le début de systématisation qu’ils proposent, tout en sachant qu’elle est assez limitée. N. Metropolis, M. Stein et P. Stein, dans une voie alternative, ont donné des résultats plus précis, mais peut-être moins spectaculaires. Le théorème de Li et Yorke montre l’abondance de suites périodiques dans des itérations très générales ; il permet même d’avancer que toutes les périodes sont représentées, moyennant certaines conditions, et que des suites non périodiques coexistent dans la même itération. En un mot, Li et Yorke mettent en lumière un début de classification des dynamiques possibles dans les itérations, s’appuyant sur la structure des orbites périodiques.

L’importance que nous accordons à cette publication de Li et Yorke ne tient pas uniquement au fait qu’elle donne un nom à une classe de phénomènes. Leur résultat va servir de paradigme à certains développements sur le sujet. Expliquons au préalable les nuances et les retouches qui lui sont apportées.

En effet, à la fin de l’année 1976, la notion de chaos du groupe May, Li et Yorke est souvent reprise mais également parfois discutée. Deux mathématiciens Peter Kloeden, Michael A.B. Deakin, et un physicien Andrew Z. Tirkel, tous trois australiens, explicitent plus clairement, dans Nature, les propriétés reliées à la notion de chaos (pour les itérations) sous-jacentes aux idées des précédents auteurs. Elles sont au nombre de trois :

‘"(1) Les solutions ne sont pas toutes périodiques ;
(2) pas nécessité de stabilité asymptotique ;
(3) il peut se produire des cycles de toute période." ³⁹⁴ ’

Pour Kloeden et al., le théorème de Li et Yorke stipule que la présence d’une période trois implique les propriétés (1), (2) et (3), ce qui constituerait leur notion de chaos. L’article de 1976 ne s’avise pas simplement de reformuler le travail de Li et Yorke mais entend apporter des éléments critiques à cette position et discuter les relations entre (1), (2) et (3).

L’article présente surtout les résultats du mathématicien ukrainien Alexander Sharkovsky (né en 1936). Publié en 1964 ³⁹⁵ , bien avant celui des deux mathématiciens américains, un des théorèmes de Sharkovsky donne en effet une caractérisation plus précise des comportements itératifs. Rédigé en russe, le résultat est resté très peu à la portée du public au-delà de l’Ukraine ³⁹⁶ . Mentionné dans Nature en 1976, le résultat sera traduit complètement (en anglais) par Peter Stefan et publié en 1977 seulement ³⁹⁷ . C’est cette dernière publication qui assurera la plus grande reconnaissance de Sharkovsky dans le monde occidental ³⁹⁸ .

Le résultat de Sharkovsky est plus précis que celui de Li et Yorke car il donne un ordre d’apparition des orbites périodiques.

Li et Yorke montrent que la période 3 implique toutes les autres périodes. Sharkovsky établit lui que cet ordre d’apparition est respecté : 3, 5, 7, 9, … 2.3, 2.5, 2.7, 2.9…2.2.3, 2.2.5, 2.2.7….2.2.2.3….2 n , 2 n-1 …4, 2, 1. La présence d’une période k implique l’existence de toutes les périodes inférieures selon cet ordre (c’est-à-dire à droite de k).

Publié en 1965, un second résultat de Sharkovsky, établi sur des considérations topologiques de l’ensemble C des points appartenant à un cycle, donne l’alternative suivante :

• C est un ensemble fermé, alors toute condition initiale donne une suite d’itérés se terminant, asymptotiquement, en comportement périodique.

• Sinon, il y a une quantité non dénombrable de points de départ ne se concluant pas asymptotiquement en un cycle périodique ³⁹⁹ .

Le théorème de Li et Yorke est donc un cas très particulier des résultats de Sharkovsky. La répartition entre orbites périodiques et non périodiques est affinée. Ces remarques n’enlèvent rien à l’originalité du travail de Li et Yorke, construit sans la connaissance du travail de Sharkovsky. Mais déjà deux notions de chaos, définies exclusivement mathématiquement, se distinguent, car Kloeden et al. suggèrent, sur la base des résultats de Sharkovsky, que :

‘"[…] les propriétés (1) et (2) soient vues comme définissant le chaos, mais que (3) ne soit pas considéré comme nécessaire. Ceci provoquera des divergences avec la nomenclature de certains auteurs (par exemple May), mais c’est une convention cohérente et en accord avec l’usage de tous les jours." ⁴⁰⁰ ’

Malgré la plus grande généralité du théorème de Sharkovsky, dans l’ensemble des travaux de 1975-82, la référence au théorème de Li et Yorke est préférée. Certes il y a là un phénomène publicitaire : le terme chaos, employé uniquement par Li et Yorke, leur procure un avantage intéressant. Mais il faut bien avouer que le résultat de Li et Yorke est très simple, ce qui favorise une place en tête du "paradigme" annoncé. En effet, le diagnostic d’une période trois, et même leur critère plus général, permettent de déterminer rapidement et facilement si un comportement vérifie le théorème et s’il existe du chaos, sous la forme qu’ils imaginent. Ainsi, dans divers travaux de la fin des années 1970, on trouve des mentions du type :

‘"L’argument repose sur le théorème de Li et Yorke. Ici nous rapportons la découverte de comportement chaotique comme résultat expérimental dans un système d’enzyme (peroxydase). Comme Rössler, nous appuyons notre identification du chaos sur le théorème de Li et Yorke." ⁴⁰¹ ’

Pour les deux auteurs de ces lignes on remarquera au passage qu’un comportement chaotique est un comportement "non périotone, non périodique" :

‘"L’existence de comportement non périotone, non périodique dans des systèmes dynamiques a été fermement établie seulement récemment. Ceci est appelé comportement chaotique." ⁴⁰² ’

De la même manière, toujours en 1979, on peut lire à propos des aspects expérimentaux :

‘"L’analyse repose sur l’idée que des états chaotiques peuvent apparaître avec des oscillations périodiques de période trois." ⁴⁰³ ’