Nous avons annoncé que rien ne permet de faire le lien avec ce qui précède au niveau des attracteurs, mais plusieurs autres indices laissent entrevoir certaines relations. En premier lieu, la stochasticité correspond à des phénomènes aléatoires produits par divers mécanismes :
‘"Les expériences numériques révèlent qu’avec le recouvrement de résonances, les oscillations d’un système deviennent irrégulières, ou stochastiques, comme si ces dernières étaient influencées par une perturbation aléatoire, même si, en fait, le mouvement est gouverné par des équations purement dynamiques. Ainsi, nous avons trouvé un exemple d’un processus ‘aléatoire’ se produisant dans un système dynamique [...] [ce] dernier résultat conduit à une compréhension de la nature des lois statistiques de la mécanique classique." 469 ’Le lien est, certes, superficiel, même un peu réducteur, mais c’est un premier indice. Chirikov montre ensuite les enjeux de l’étude de la stochasticité :
‘"L’instabilité des oscillations non linéaires se produisant avec le recouvrement de résonances est d’une nature plutôt singulière donnant lieu à un mouvement irrégulier, ou stochastique, du système. Ce genre de mouvement mécanique a été l’objet d’une longue recherche dans de nombreuses tentatives de fonder la mécanique statistique. C’est précisément de là que la théorie ergodique des systèmes dynamiques est sortie. La mise en évidence de comportements statistiques dans des systèmes dynamiques extrêmement simples a été un résultat plutôt surprenant de l’étude des oscillations non linéaires. Ce dernier aspect de l’interaction de résonances sera discuté dans la section 5." 470 ’Ceci nous montre le rapport de la stochasticité aux problèmes d’ergodicité et à celui des fondements de la Mécanique statistique classique. La recherche des comportements stochastiques est orientée vers la justification d’une description statistique de certains mécanismes, et il paraît facile de la rapprocher des tentatives de description statistique, probabiliste, ergodique du chaos.
En faisant un pas supplémentaire dans la théorie, nous comprenons que les rapports ne relèvent pas seulement de parallèles un peu grossiers. C’est dans le mécanisme générateur de la stochasticité que nous trouvons des indices intéressants. Il a été signalé dans une précédente citation que l’explication à la stochasticité donnée par Chirikov est celle du "recouvrement de résonances". Ceci est confirmé et précisé ensuite :
‘"Dans la section 3 nous avons vu qu’une caractéristique principale d’une simple résonance est la stabilisation non linéaire de perturbations résonantes. Le mécanisme de recouvrement de résonances détruit cette stabilisation et laisse un système ‘errer’ dans les résonances. Se produisant ainsi, l’instabilité stochastique est l’obstacle principal sur la voie de l’application des oscillations non linéaires pour supprimer les perturbations résonantes." 471 ’Autrement dit, dans les oscillations non linéaires, il se produit un phénomène d’instabilité générant de la stochasticité : lorsqu’une seule résonance entre en jeu, la non linéarité assure la stabilité, mais lorsque plusieurs résonances se chevauchent, le système perd sa stabilité et il parcourt l’espace couvert par les résonances, c’est ce qui fait la stochasticité.
Pour être plus précis, il se met en place une véritable instabilité lorsque déjà deux résonances se rapprochent :
‘"Les expériences numériques montrent que le mouvement en question devient irrégulier comme si le système était influencé par des forces aléatoires même si, en fait, aucune force de ce genre n’est présente. [...] C’est pourquoi ce type de mouvement a été appelé oscillations stochastiques, ou instabilité stochastique. [...] Mentionnons accessoirement qu’une autre particularité d’un tel mouvement est la forte instabilité locale. Ceci signifie que des trajectoires initiées toutes proches l’une de l’autre se séparent exponentiellement dans le temps en moyenne (section 5.2)." 472 ’En dernier ressort, la caractéristique appelée "sensibilité aux conditions initiales" dans le contexte du chaos, intervient donc ici aussi, et prend une grande importance dans le texte de Chirikov.
"Numerical experiments reveal that under the overlap of resonances the oscillations of a system become irregular, or stochastic, as if the latter were influenced by a random perturbation even though, in fact, the motion is governed by purely dynamical equations. Thus, we have come across an example of arising a "random" process in a dynamical system…[…] the latter result leads to a new understanding of the nature of statistical law in classical mechanics.", [CHIRIKOV, B., 1979], p. 267 (nous mettons en évidence).
"The instability of nonlinear oscillations arising under the overlap of resonances has a rather peculiar nature resulting in an irregular, or stochastic, motion of the system. This kind of mechanical motion has been the object of a long search in numerous attempts of foundation of the statistical mechanics. This is just where the ergodic theory of dynamical systems [28,2] has come out. A rather surprise result of the study of nonlinear oscillations has proved to be the possibility of statistical behaviour in extremely simple dynamical systems [10, 38, 39, 34]. The latter aspect of resonance interaction will be discussed in section 5.", [CHIRIKOV, B., 1979], p. 285-6 (nous mettons en évidence).
"In section 3 we have seen that a main feature of a single resonance is the nonlinear stabilization of resonant perturbation. The mechanism of resonance overlap destroys that stabilization and lets a system "wander" over resonances. Arising thus, stochastic instability is the main obstacle in the way of application of nonlinear oscillations for the suppression of resonant perturbation. This has been found out already in ref. [10].", [CHIRIKOV, B., 1979], p. 291-2. La référence [10] correspond à une étude de conception des synchrotrons.
"Numerical experiments show that the motion in question becomes irregular as if the system were influenced by some random forces even though, in fact, no such a force is present. (see eq. (4.1)). That is why this kind of motion was called stochastic oscillations, or stochastic instability. Its main features will be considered in section 5. Let us mention incidently that another peculiarity of such a motion is a strong local instability. The latter means that the trajectories started initially close together are separating exponentially with time at the average (section 5.2).", [CHIRIKOV, B., 1979], p. 286-7 (nous mettons en évidence).