Pour en revenir au théorème de Poincaré et à son utilisation sommaire, la faille dans le raisonnement peut s’expliquer très simplement. L’Hamiltonien non perturbé possède des intégrales du mouvement, autant que de degrés de liberté et, en conséquence, le mouvement se développe sur un tore. La conservation des tores sous perturbation correspond à la conservation des intégrales du mouvement. Du fait que les intégrales (ou les tores) peuvent être détruites "à l’intérieur de l’ensemble dense, des couches résonantes", "leur dépendance des variables dynamiques est partout discontinue" 483 . Le théorème de Poincaré fixait l’impossibilité d’avoir des intégrales analytiques, mais n’interdisait en rien l’existence d’intégrales avec des discontinuités. Il y a eu une surinterprétation du théorème.
"inside the everywhere dense set of resonance layers. Hence their dependance on dynamical variables is everywhere discontinuous", ibid., p. 310 (nous soulignons).