Eléments d’une théorie de la dynamique chaotique

D’abord Rössler tente une classification des comportements chaotiques selon les mécanismes générateurs. Dans un article précédent, il avait différencié un chaos "spiral" d’un chaos "vis". Par une réflexion plus approfondie sur les applications de Poincaré cette fois, Rössler obtient deux grandes classes de comportements : les applications dites "bâton de marche" ⁵⁷⁷ et les applications "sandwich", qui se caractérisent par un repliement pour la première, une coupure pour la seconde ⁵⁷⁸ . Ce sont les deux classes majeures des comportements de chaos selon Rössler ⁵⁷⁹  ; le chaos "spiral" et "vis" se rangent dans la première catégorie.

Lors de la conférence de New York de 1977, il présente un bilan des mécanismes possibles pour générer du chaos sous la forme des cinq prototypes :

Ces mécanismes ont leur correspondant en terme d’applications de Poincaré dont on voit très clairement la séparation en deux classes (les repliées, les coupées) :

De la même manière, Rössler montre comment un même système différentiel, avec différents paramètres, peut admettre des régimes de chaos distincts ⁵⁸⁰ .

Les traits principaux de sa démarche se démarquent bien. D’abord la maîtrise des outils des systèmes dynamiques s’accroît rapidement et leur intervention est de plus en plus décisive dans les raisonnements. Ainsi les affirmations relatives aux applications de type "bâton de marche" se font prudentes et la transférabilité des résultats sur le fer à cheval est mise en question. Il naît une réflexion assez abstraite qui se concrétise par la suite dans un article de 1977 intitulé : "‘Syncope implies chaos’ in Walking-stick Maps". La référence au théorème de Li et Yorke est évidente ; c’est le but de l’article que de trouver un équivalent, ou une extension, du théorème dans le cas des applications de Poincaré bidimensionnelles, et non plus seulement dans le cas "dégénéré". Cette question a été lancée en 1976 avec une conjecture reposant sur le taux de "recouvrement" du "bâton de marche" ⁵⁸¹ .

Pour parvenir à ce critère il utilise la panoplie des systèmes dynamiques de manière plus sûre. La notion d’homocline intervient dans sa preuve. Rössler démontre en fait qu’une homocline peut apparaître dans les applications de Poincaré de type "bâton de marche" (modulo certaines hypothèses). Pourquoi se tourner vers les homoclines ? Simplement, parce que dans ce cas, l’existence d’une infinité d’orbites périodiques est assurée ⁵⁸² . On voit au passage que Rössler est fidèle à cette définition de chaos lorsqu’il s’agit de montrer effectivement son existence dans un processus dynamique. La conclusion de cette recherche, beaucoup plus abstraite qu’à l’habitude et ne s’appuyant sur aucune simulation numérique, est un critère pour le chaos : la présence d’une "syncope" dans une série temporelle (c’est-à-dire l’apparition d’un évènement brisant la non périotonie de la dynamique).

Deuxièmement, à partir de 1977, on notera qu’il n’est plus question de chimie des oscillateurs dans l’exercice théorique. Ainsi les équations prototypes sont-elles présentées sans cette référence, qui a néanmoins servie à leur construction, explicitée dans des travaux antérieurs. Les prototypes suffisent désormais pour réaliser les expériences numériques et poursuivre l’étude du chaos.

En définitive, une partie des résultats, ceux touchant aux modèles en papier, est assez proche de ce que Guckenheimer et Williams ont fait, de manière plus mathématique, à propos de l’attracteur de Lorenz ⁵⁸³ . Rössler y est parvenu par une voie alternative, non liée à la question de l’attracteur de Lorenz, dans une démarche qui, de plus, est constructive et génératrice de nouveaux chaos et ne se limite pas aux "attracteurs de Lorenz".

Pour donner un terme à cette suite spectaculaire de travaux, nous avons retenu l’année 1979. La série ne s’arrête pas à cette année, mais il faut remarquer que le projet d’étendre les réflexions à la dimension supérieure aboutit alors à l’étude d’un système concret. L’idée d’étendre le principe de réinjection à la dimension 4 remonte à l’année 1976 et apparaît comme un prolongement assez naturel ⁵⁸⁴ .

Les mêmes outils, simulations numériques et systèmes dynamiques, et le fil directeur de la chimie des oscillations, permettent à Rössler de construire et d’étudier un système quadridimensionnel, avec la perspective de possibles extensions :

Ce système d’équation tiré de "An equation for hyperchaos" ⁵⁸⁵ , illustre un comportement qu’il baptise "hyperchaos". Cette recherche est beaucoup plus délicate que pour les systèmes en trois dimensions, du simple fait de la difficulté à visualiser le processus. Pour la même raison, il semble que l’étude de ces systèmes soit restée depuis, du domaine de l’académisme. Le résultat de Rössler montre tout de même, une nouvelle fois, la fécondité de sa démarche.