Le bruit

Une dernière analogie mérite notre attention : dans la démagnétisation ferromagnétique au point de Curie, le champ magnétique perturbe l’aimant, et au fur et à mesure de l’approche du point, de moins en moins de force de champ suffit à cela. Sur le plan de la dynamique, le bruit externe au système fait office de champ magnétique. Ceci est compris depuis le début de l’analogie par Coullet et Tresser : c’est une "évidence", qui ne mérite pas d’être publiée et on peut dire que l’analogie ne serait pas complète sans l’analogue de ce bruit 779 . D’autres ne se priveront pas de publier de tels résultats sur l’influence du bruit au point critique, sans apporter, qualitativement, beaucoup plus que ce que l’analogie permet d’approcher 780 . Une analyse en groupe de renormalisation (se référant systématiquement à Feigenbaum) sert à diagnostiquer de nouveaux exposants critiques universels, conformes à des études numériques 781 .

Notes
779.

Le bruit est aussi inévitable du moment qu’il s’agit d’expérimentations ou de calculs numériques (erreurs d’arrondis dans ce cas).

780.

Au grand regret de Coullet et Tresser, qui considèrent cela comme une "trivialité" (entretien avec Charles Tresser, 12 mars 2004). L’analogie est proposée dans l’analyse [CRUTCHFIELD, J.P., HUBERMAN, B.A., 1980], essentiellement appuyée par des résultats numériques. Ce n’est pas seulement la cascade de dédoublement qui est étudiée, mais l’influence du bruit sur la transition vers le chaos (pour une particule dans un potentiel anharmonique) : les résultats à l’ordinateur analogique, troublé par un générateur de bruit, montrent simplement le décalage de la transition avec le bruit. L’universalité est ensuite testée sur une itération unidimensionnelle.

781.
Ce sont uniquement des travaux sur les itérations soumises à doublement de période : [CRUTCHFIELD, J., NAUENBERG, M., RUDNICK, J., 1981], [SHRAIMAN, B., WAYNE, C.E., MARTIN, P.C., 1981]. Les deux donnent une loi d’échelle (équivalente malgré les différences de présentation) liant l’exposant de Lyapounov et le bruit σ, selon une fonction universelle :
où t=ln2/lnδ ≈ 0,4498… et u=ln2/lnß ≈ 0,34… (ß≈7,7).