L’historiographie présente deux lignes-forces du texte. Pour Aubin et Dahan, il serait une sorte de bilan-synthèse des recherches sur les scénarios, un aboutissement des rencontres et du processus de convergence-reconfiguration des disciplines et concepts, pour reprendre leurs termes 824 . En même temps, il confirme le "point de vue système dynamique" 825 : Eckmann exprime sa synthèse dans le langage des systèmes dynamiques, confirmant qu’ils sont de bons outils pour modéliser les phénomènes en question.
Effectivement, les trois scénarios présentés sont explicités sous une forme mathématique, dans le cadre des systèmes dynamiques. On peut facilement comprendre ce choix par rapport aux développements du chaos et de la transition vers le chaos, qui recourent d’une manière ou d’une autre aux mathématiques des systèmes dynamiques. Cependant, la réinterprétation en termes mathématiques ne se limite pas à une question de langage et n’est pas neutre.
Pour cerner ce point, il faut commencer par analyser les sous-entendus du terme "turbulence" (dont on notera qu’il est pris pour synonyme de chaos, comme chez Ruelle).
‘"Je décris ici des exemples de comportements relativement simples, mais néanmoins apériodiques, et les mets en perspective. Dans cette optique, les systèmes montrant ce comportement sont encore suffisamment irréguliers pour être appelés turbulents, et en fait certains de leurs aspects sont trouvés dans la convection (irrégulière) des fluides. Toutes les formes de périodicité (même les très faibles) sont intéressantes, mais les mots apériodique, erratique, chaotique, et (faiblement) turbulent, seront utilisés de manière interchangeable pour n’importe laquelle de ces formes." 826 ’ ‘"la turbulence décrite dans les scénarios trouvés jusqu’à présent est une simple forme d’apériodicité temporelle, dont l’apparence est bien contrôlée." 827 ’Ainsi Eckmann explique qu’un système peut passer d’un comportement bien connu, simple, à des comportements "erratiques", "au sens où cette évolution temporelle peut être assez imprédictible sur des grandes échelles de temps, ou peut montrer un spectre de bande large, ou peut ne plus être périodique du tout" 828 . Puis vient la caractérisation de la turbulence : la sensibilité aux conditions initiales et les attracteurs étranges 829 .
Selon Eckmann, le projet général d’étude des systèmes dissipatifs est de décrire les comportements des systèmes dynamiques en produisant une classification de leurs attracteurs 830 . Comme il existe peu de critères pour cela, l’analyse est conduite à propos de l’évolution des attracteurs, par bifurcation : "cette procédure a été recommandée dans l’article de Ruelle et Takens (1971)" 831 .
Il s’agit donc d’un cadre de mathématiques des systèmes dynamiques, mais aussi, de manière latente, du cadre conceptuel de Ruelle pour la turbulence, où les notions de sensibilité aux conditions initiales et attracteurs étranges sont en première ligne. Ses choix se retrouvent dans la présentation des trois scénarios et ont leurs conséquences.
Le scénario de Ruelle-Takens-Newhouse, extension du plus ancien des scénarios proposés, est présenté le premier. En reprenant la formulation simplifiée 832 : si un système subit trois bifurcations de Hopf successives, à partir d’une solutions stationnaire, lorsqu’un paramètre est varié, alors il y a toutes les chances pour que le système possède un attracteur étrange, avec sensibilité aux conditions initiales après la troisième bifurcation. Naturellement, attracteur étrange et sensibilité aux conditions initiales sont au coeur du scénario, conformément à l’inspiration initiale de Ruelle et Takens.
Le second schéma est celui de Feigenbaum. Loin des analogies, de la renormalisation et des idées numériques-empiriques, le scénario est étendu et refondu dans le moule des systèmes dynamiques. Le travail d’expression sous forme de bifurcations de champ de vecteur est le résultat de travaux personnels de Eckmann et Pierre Collet 833 . Par ailleurs, si la renormalisation est absente de l’exposé, elle est sous-jacente aux démonstrations des propositions avancées : on rappelle que Eckmann a participé à la démonstration effective de la convergence du procédé de renormalisation imaginé par Feigenbaum 834 .
Ajoutons qu’ici, la turbulence finale s’inscrit en négatif par rapport à la ligne proposée au début : il y a un "attracteur apériodique (une orbite périodique stable de ‘periode 2∞’). L’action sur l’attracteur est ergodique, mais non mélangeante (en particulier, il n’y a pas de dépendance sensible des conditions initiales)" 835 .
Enfin, le troisième et dernier scénario est celui de l’intermittence. Il est le moins satisfaisant "mathématiquement" : "il n’est pas fait mention du moment où le regime "turbulent" est atteint ou quelle est la nature exacte de cette turbulence" 836 . Cette fois la présentation est limitée aux familles d’itérations à un paramètre, dans un cas particulier. En outre, la transcription en langage des systèmes dynamiques est réalisée, mais, malgré la longue introduction, la turbulence et le scénario ne renvoient ni aux attracteurs étranges, ni à la sensibilité aux conditions initiales ; c’est un signe de la faible relation du scénario à la question du chaos.
[AUBIN, D., DAHAN, A., 2002], p. 321, pour la discussion de l’article de Eckmann et plus généralement, le paragraphe 4.4.
Terme emprunté à M. Hirsch, cf. note 316 (p. 149).
"I describe here examples of relatively simple, but nevertheless aperiodic behavior, and put them in perspective. In this view, systems exhibiting this behaviour are still sufficiently irregular to be called turbulent, and in fact some of their aspects are found in (irregular) convection of fluids. All forms of aperiodicity (even very weak ones) are of interest, but the words aperiodic, erratic, chaotic, and (weakly) turbulent will be used interchangeably for any of these forms.", [ECKMANN, J.P., 1981], p. 94.
"[…] the turbulence described in the scenarios which have been found so far is a simple form of temporal aperiodicity, whose appearance is well under control.", [ECKMANN, J.P., 1981], p. 97.
"[…] in the sense that its time evolution may be quite unpredictable on large time scales, or it may show broad-band spectrum or may not be periodic any more. ", [ECKMANN, J.P., 1981], p. 94.
Il précise que les attracteurs sont "étranges" lorsqu’ils manifestent une sensibilité aux conditions initiales ([ECKMANN, J.P., 1981], p. 96).
"[…] this aim is clearly felt throughout the literature on dynamical systems", ibid., p. 96.
"This procedure has been advocated in Ruelle and Takens (1971)", [ECKMANN, J.P., 1981], p. 96 (note 6).
[ECKMANN, J.P., 1981], p. 99.
Notamment dans [COLLET, P., ECKMANN, J.P., 1980].
Cf. p. 327. La démonstration correspond à l’article : [COLLET, P., ECKMANN, J-P, LANFORD III, O.E., 1980].
"[…] aperiodic attractor (a stable periodic orbit of ‘period 2∞’). The action on the attractor is ergodic, but not mixing (in particular, there is no sensitive dependence on initial condition)", [ECKMANN, J.P., 1981], p. 100.
"there is no mention as to when the "turbulent" regime is reached or what the exact nature of this turbulence is", [ECKMANN, J.P., 1981], p. 101.