Chapitre 6. Un cadre mathématique pour les systèmes dynamiques

Les mathématiques des systèmes dynamiques fournissent des concepts et des moyens d’étude des comportements dynamiques, utilisés abondamment tant dans les conceptions du chaos que dans la théorie du chaos. De multiples exemples ont été donnés : section de Poincaré, application de premier retour, attracteurs, attracteurs étranges, fer à cheval, homoclines, systèmes hyperboliques, etc. Trois principaux textes sont cités comme références : celui de Ruelle et Takens de 1971 ("On the nature of turbulence"), l’article de Smale de 1967 ("Differentiable dynamical systems") et, bien sûr, ceux de Poincaré. Mais l’histoire des mathématiques des systèmes dynamiques et leur influence sur l’épisode 1975-1982 ne peuvent pas se résumer à ces trois scientifiques. L’historiographie courante suffit à nous faire comprendre que ce sont trois points saillants d’un mouvement de plus grande ampleur.

Notre but est de montrer que dans le cadre des mathématiques la question des systèmes dynamiques a subit une longue et profonde évolution sur deux plans, les méthodes et surtout les perspectives d’étude de la dynamique, d’une part, des progrès significatifs dans les résultats mathématiques relatifs à ces systèmes, d’autre part. Beaucoup d’"historiques" se satisfont de reconstructions dans lesquelles les travaux émergent en se succédant presque "logiquement". Il nous paraît important de bien montrer que le cadre des systèmes dynamiques a subi des transformations au cours du processus historique ; cela laisse penser qu’une lecture linéaire des seuls résultats mathématiques ne peut mener qu’à des raccourcis et des anachronismes. De cette manière nous pourrons saisir les mutations des travaux sur les équations différentielles après 1912, sous l’effet de la perspective initiée par Poincaré, et les inscrire dans notre histoire. L’influence des mathématiques au cours de l’épisode 1975-82 n’en sera que plus claire.

Nous nous proposons d’analyser l’évolution des mathématiques des systèmes dynamiques, en suivant différents contextes intellectuels, institutionnels et culturels. Chronologiquement, il s’agit des analyses de Birkhoff et Andronov, de Lefschetz aux Etats-Unis après la seconde guerre mondiale, des travaux de Smale dans les années 1960 et, parallèlement, des réflexions conduites au sein de l’IHES, en France, où se développent les travaux de Ruelle et Takens.