Quelques grands mathématiciens du début du XXème siècle ont repris les analyses de Poincaré sur les équations différentielles, pour les prolonger. Parmi eux nous avons présenté Hadamard et Lyapounov. Mais le véritable successeur de Poincaré est sans conteste George Birkhoff. Comme le disait Marston Morse, élève et ami de Birkhoff : "Poincaré a été le vrai professeur de Birkhoff" 840 . Ce n’est pas peu dire que Birkhoff s’est inspiré de Poincaré 841 . Il a transformé le cadre d’étude de la dynamique confectionné par Poincaré. Sa longue carrière lui a permis de conduire un travail de longue haleine et d’obtenir des résultats de grande ampleur. Ce sont les principaux jalons de ces résultats que nous présentons, en signalant les nouveautés de chaque étape, et en montrant ainsi la construction progressive d’une théorie très élaborée des systèmes dynamiques, assez différente de l’état dans lequel Poincaré l’avait laissée.
Le mathématicien américain George Birkhoff a été formé à l’Université de Chicago et à Harvard. Il a obtenu son doctorat de mathématiques en 1907 (sur le sujet : "Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary values and expansion problems"), puis revient à Harvard en 1912, où il fait l’essentiel de sa carrière, jusqu’à son décès en 1944 842 .
Les travaux de Birkhoff ont bénéficié d’une large publicité dès lors que celui-ci est parvenu à démontrer le dernier théorème géométrique de Poincaré qu’il avait laissé inachevé à son décès 843 . En 1913, Birkhoff s’affiche comme un successeur de Poincaré. Cependant, l’année précédente, il avait déjà publié un travail intéressant et plus significatif encore, sur la question des systèmes dynamiques : "Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques" 844 . Les éléments introduits par Birkhoff sont très remarquables et ils ont marqué l’étude des systèmes dynamiques, comme nous le verrons.
Il nous importe maintenant de souligner les évolutions proposées par Birkhoff et de montrer ce qui les distinguent de Poincaré.
"Poincaré was Birkhoff’s true teacher", [MORSE, M., 1968], p. xxiii.
Birkhoff est également un ami d’Hadamard et de Levi-Civita dont on a vu les affinités mathématiques avec le point de vue qualitatif et le travail de Poincaré en particulier.
Au sujet de Birkhoff, on peut consulter l’hommage de Morse [MORSE, M., 1968] ou celui présenté en introduction aux Oeuvres de Birkhoff : [BIRKHOFF, G.D., 1968].
Voir l’annexe consacrée au dernier théorème de Poincaré, p. 743.
Birkhoff signale que le mémoire a été lu déjà en 1909 dans une réunion de l’American Mathematical Society. Il est publié, en français, en 1912, dans le Bulletin de la Société Mathématique de France. [BIRKHOFF, G.D., 1912].