Orbites périodiques et section transverse

Birkhoff s’engage dans des analyses au sujet de deux éléments fétiches des travaux de Poincaré : les orbites périodiques, dans les systèmes dynamiques en général, et les sections transverses. Birkhoff reprend les travaux de Poincaré et les prolonge. Ainsi en 1915, il publie sur le problème restreint des trois corps : il prend un point de vue topologique et attaque le problème de manière qualitative 859 . Il ne reviendra que vingt ans plus tard sur le problème, après avoir développé des outils puissants pour caractériser la dynamique.

Dans son article de 1917 sur les systèmes à deux degrés de liberté ("Dynamical systems with two degrees of freedom" 860 ), Birkhoff donne des méthodes pour déterminer l’existence d’orbites périodiques dans de tels systèmes et prolonge, pour la première fois, l’idée de section transverse de Poincaré. Rappelons que le sujet des systèmes à deux degrés de liberté (non intégrables) était une des préoccupations de Poincaré : il considérait, comme Birkhoff, que ce sont aussi les systèmes non intégrables les plus simples et par là, les meilleurs candidats à une analyse qualitative.

Le cœur de l’article est la question des orbites périodiques, pour laquelle trois méthodes sont élaborées (ou reprises) par Birkhoff : méthode de prolongement analytique de Poincaré, "minimum method", "minimax method" 861 . Quant à la question des sections transverses, que Poincaré a introduites pour, notamment, ramener le problème des trois corps restreint à une transformation de l’anneau dans lui-même, Birkhoff développe une théorie plus complète qui l’autorise à donner des conditions d’existence de ces sections 862 , ce qui n’avait rien d’évident et aurait pu restreindre leur utilisation sans cela. Birkhoff montre qu’elles existent dans beaucoup de cas, et qu’il en existe plusieurs types différents.

En outre, Birkhoff met en évidence des propriétés remarquables de ces sections transverses. La réduction du problème différentiel à une transformation plane grâce à une section transverse permet en fait une réduction qualitative et analytique du problème 863 . En considérant les points invariants de ces transformations, il parvient également à une modification du dernier théorème de Poincaré 864 .

En 1920, il étend encore les propriétés des transformations de section dans un imposant article : "Surface transformations and their dynamical applications". De ses études des transformations des surfaces, il dresse un bref inventaire des dynamiques possibles, dans le cas à deux degrés de liberté 865 . Le rapport avec le programme de classification imaginé par Poincaré est évident ; Birkhoff le réalise grâce à ses nouveaux outils mathématiques, comme la notion de point elliptique et de point hyperbolique 866 .

En 1927, deux autres publications témoignent de ces mêmes préoccupations. Il revient sur la question des orbites périodiques, leur répartition dense et le parti pris par Poincaré d’en faire la voie pour étudier les systèmes dynamiques 867 . Birkhoff présente le problème du mouvement d’une boule sur une table convexe et montre que, dans ce cas, s’il existe un mouvement périodique stable, alors il y a une infinité de mouvements périodiques stables dans son voisinage et l’ensemble de ces mouvements périodiques stables forme un ensemble dense. Ceci va dans le sens de Poincaré, tout en montrant que cette possibilité n’existe pas a priori sans certaines conditions. En outre, il rappelle une propriété très analogue, qu’il avait démontrée dans sa précédente étude de 1920 : dans le cas d’un système transitif, l’ensemble formé par les orbites périodiques et les orbites asymptotiques à celles-ci est dense 868 .

Birkhoff a choisi ce système mécanique de billard pour deux raisons : le système est représentatif parmi les systèmes à deux degrés de liberté, donc les résultats ont une certaine généralité ; de plus, il présente l’avantage que : "Le côté formel, d’habitude si difficile en dynamique, disparaît presque complètement, et seulement les questions qualitatives intéressantes ont besoin d’être abordées" 869 . C’est un système mathématique "modèle", un peu comme les géodésiques considérées par Hadamard.

A ce moment là, il tente aussi la généralisation des orbites homoclines.

A propos des intersections des deux familles de courbes asymptotiques à une orbite périodique instable, tel que Poincaré les a décrit dans le problème restreint des trois corps, il écrit :

‘"Il est certain que cette intersection des deux familles (dans les cas où elles ne coïncident pas identiquement) est un phénomène existant généralement, bien que je n’ai pas encore été capable de traiter certains cas exceptionnels.’ ‘Je prouverai ici que tout mouvement homocline est toujours dans l’immédiat voisinage d’une infinité de mouvements périodiques. ’ ‘Ce fait implique incidemment que le mouvement périodique instable approché par le mouvement homocline est dans le voisinage immédiat d’une infinité d’autres mouvements périodiques […]" 870
Notes
859.

Cf. [BARROW-GREEN, J., 1997], p. 212-214, pour des explications sur les résultats prouvés par Birkhoff, au sujet des orbites périodiques du problème.

860.

[BIRKHOFF, G.D., 1917].

861.

Voir [BARROW-GREEN, J., 1997],, p. 215-216 pour les détails techniques. La méthode "minimax" est importante (d’après Barrow-Green [BARROW-GREEN, J., 1997], p. 216, note 325, citant Birkhoff [BIRKHOFF, G.D., 1927], p. 139 et Veblen [VEBLEN, O., 1968], p. xix) car elle est à l’origine du travail de Marston Morse sur le calcul des variations, qui a introduit les considérations topologiques en analyse.

862.

[BARROW-GREEN, J., 1997], p. 216. Nous faisons allusion au dernier théorème de Poincaré. Voir l’annexe, à ce sujet p. 743.

863.

[BARROW-GREEN, J., 1997], p. 216. Birkhoff insiste sur le fait qu’une transformation d’une section transverse possède une "invariant area integral". La forme normale de l’équation différentielle impliquait l’existence de deux fonctions des coordonnées (x,y), alors que la transformation limite à une fonction.

864.

Celui-ci reposait sur une section en forme d’anneau, Birkhoff montre que le théorème peut être utilisé pour des sections de genre p=0, et modifié pour avoir les mêmes conclusions avec un genre p>0.

865.

" The catalogue of types of motion according to their degree of simplicity apperas to run as follows : ordinary periodic motions, biperiodic motions representable analytically by convergent trigonometric series in two arguments, triperiodic motions representable by three arguments; motions asymptotic to periodic motions of hyperbolic type, motion asymptotic to periodic motion of elliptic type and other types just referred to: recurrent motions of biperiodic or triperiodic type (not representable by convergent trigonometric series); recurrent motions of discontinuous type; motions asymptotic to recurrent motions of these new types (or to sets of isomorphic recurrent motions); special motions (i.e. not passing near all phases for both lim t=+∞  and lim t=-∞ ) not of above types; general motions.", [BIRKHOFF, G.D., 1920], p. 119 (en italique dans le texte).

866.

Définies pour les transformations de surfaces, ces notions se transfèrent au niveau des orbites périodiques elliptiques et hyperboliques.

867.

Birkhoff résume la pensée de Poincaré à ce sujet : "In his work on dynamics Poincaré was led to focus attention primarily upon the periodic motions. He conjectured that any motion of a dynamical system might be approximated by means of those periodic types i.e. that the periodic motions would be found to be densely distributed among all possible motions; and it became a task of the first order of importance for him to determine what the actual distribution of the periodic motions was, so as to prove or disprove his conjecture." [BIRKHOFF, G.D., 1927d], p. 359.

868.

[BIRKHOFF, G.D., 1927d], p. 379. Un système est dit transitif si "motions can be found passing from nearly one assigned state to nearly any other arbitrarily assigned state". Il ajoute : "This property is probably satisfied "in general" by non-integrable dynamical systems".

869.

"the formal side, usually so formidable in dynamics, almost completely disappears, and only the interesting qualitative questions need to be considered.", [BIRKHOFF, G.D., 1927d], p. 361.

870.

"It is certain that this intersection of the two families (in cases where they do not coincide identically) is a phenomenon of general occurrence, although I have not as yet been able to treat certain exceptional cases. I will prove here that every homoclinic motion is always in the immediate neighbourhood of infinitely many periodic motions. The fact just stated implies incidentally that the unstable periodic motion approached by the homoclinic motion lies in the immediate neighbourhood of infinitely many other periodic motions […] ", [BIRKHOFF, G.D., 1927d], p. 376.