b. Du conservatif au dissipatif ; les mathématiques des équations différentielles

Les travaux de Poincaré et Birkhoff ont une double facette. D’un côté, ce sont des études qualitatives des solutions des équations différentielles, dans toute leur généralité. D’un autre, les considérations les plus travaillées sont concentrées en grande partie sur des systèmes différentiels issus de la dynamique classique, de la Mécanique ; le problème des trois corps en est le meilleur exemple. Pour le formuler autrement, les systèmes dits dissipatifs (ou non conservatifs) ne reçoivent pas l’attention, à laquelle les systèmes Hamiltoniens ont droit.

C’est pourtant sur ce point qu’une grande évolution de l’étude de la dynamique va se faire, durant l’entre deux guerres, période de plein développement des considérations de Birkhoff. Par ces deux biais, l’étude des systèmes dynamiques, c’est-à-dire des équations différentielles, ressort profondément modifiée de cette période ; elle forme aussi l’embryon d’un développement ultérieur, conduisant aux travaux plus "abstraits" sur les systèmes dynamiques après la seconde guerre mondiale, qui ont inspiré eux-mêmes, plus directement, les travaux contemporains et les conceptions du chaos, dans les années 1975‑82.

Dans cette partie consacrée aux mathématiques des systèmes dynamiques, nous allons montrer la construction du cadre mathématique et les résultats marquants au sujet des systèmes dissipatifs. Nous nous focaliserons ici plutôt sur les résultats mathématiques "finalisés". Pour expliquer cette histoire et ses conséquences sur d’autres plans, nous reviendrons plus en détail sur le processus de constitution de ces savoirs, mêlant intimement mathématiques et physique en particulier. Ce sera l’objet du chapitre consacré à la théorie des oscillations non linéaires et au calcul analogique. En anticipant sur ces éléments, nous nous contenterons de dire que ces changements sont impulsés par un renouvellement des enjeux scientifiques et techniques : si la Mécanique classique et la Mécanique céleste ont pendant longtemps fourni les sujets "importants", de nouvelles problématiques émergent avec les questions d’oscillations des systèmes électriques, électroniques, pour la radio notamment. Ce sont ces phénomènes dissipatifs qui vont recevoir l’attention des mathématiciens-physiciens.

La transformation théorique et les résultats essentiels de la dynamique des systèmes dissipatifs proviennent, avant la seconde guerre mondiale, d’Union Soviétique. Plusieurs centres d’activités émergent, sur des problématiques différentes. Nous nous bornerons à détailler les développements les plus lourds de conséquences dans l’histoire.