a. L’action de Lefschetz

Solomon Lefschetz (1884-1972)

Né à Moscou, la même année que Birkhoff, Lefschetz émigre en France avec ses parents. D’origine juive, russe, il poursuit ses études jusqu’à entrer à l’Ecole Centrale. En 1905 il en sort ingénieur et quitte la France pour les Etats-Unis dans l’idée d’acquérir de la pratique en ingénierie électrique. Un accident, conduisant à l’amputation de ses deux mains, réoriente sa carrière vers les mathématiques. Il prépare une thèse de mathématiques en 1911 et s’occupe surtout de géométrie algébrique et de topologie. Sa carrière suit son cours, entre postes d’assistant et de professeur associé, avant de parvenir à un poste de professeur à Princeton, en 1924, où il va côtoyer les mathématiciens américains les plus prestigieux et les nouveaux immigrants européens dans les années 1930.

La seconde guerre mondiale marque un tournant dans la vie scientifique de Lefschetz, pourtant âgé de 60 ans en 1944. Cette impulsion va, en effet, le conduire à s’intéresser aux équations différentielles.

Avec la forte mobilisation scientifique de la guerre, Lefschetz est sollicité pour devenir consultant à l’"Office of Naval Research" (ONR), sur la question des équations différentielles non linéaires. Son activité à Princeton, ses cours et séminaires sont réorientés sur le sujet. D’une certaine manière il renoue avec son passé d’ingénieur puisque ces recherches sont naturellement associées aux questions de sciences de l’ingénieur.

Dès 1942, Lefschetz propose une traduction libre d’une série de travaux de Kryloff et Bogoliuboff, publiée en 1943 sous le titre Introduction to nonlinear mechanics 933 . Il parle couramment plusieurs langues, dont le russe, et puise directement dans les originaux. Les travaux en question ne concernent alors que les méthodes quantitatives, utilisées dans les domaines des phénomènes dissipatifs. La question des méthodes qualitatives est abordée à la suite d’un rapport rendu public en 1945, rédigé par Nicolas Minorsky pour l’ONR et publié sous le titre Introduction to nonlinear mechanics en 1947 934 .

Cet ouvrage est un concentré des méthodes d’analyse des équations différentielles. Il n’existe pas encore de traduction de la Théorie des oscillations d’Andronov et ses collaborateurs ; Minorsky en reprend les grandes lignes dans la première partie consacrée aux "méthodes topologiques" (cycles limites, théorie des bifurcations, étude géométrique des mouvements périodiques...). Avec les méthodes topologiques, les méthodes analytiques (Poincaré, Van der Pol, Kryloff et Bogoliuboff), les études des systèmes à plusieurs degrés de liberté, le traitement des résonances et des oscillations de relaxations, l’ouvrage embrasse l’essentiel des méthodes connues pour analyser les équations différentielles. Il va sans dire qu’il aura un impact considérable, sur Lefschetz, mais aussi sur toute la communauté du non linéaire, comme nous le verrons au chapitre 8.

Notes
933.

La première édition est de 1943, la seconde de 1949 : [KRYLOV, N.M., BOGOLIUBOV, N.N., 1949].

934.

Voir [MINORSKY, N., 1947]. En fait, Lefschetz a participé au projet géré par Minorsky. Il est difficile de savoir sur quels aspects il a travaillé avec lui, mais vu les premières traductions qu’il réalise, il s’agit très probablement des méthodes quantitatives de Kryloff et Bogoliuboff.