Un premier bilan

Les quelques jalons que nous avons posés témoignent d’une grande continuité au sein des travaux mathématiques réalisés de 1940 à 1960. L’héritage des soviétiques, dûment traduit, est exploité et sert à l’appropriation des moyens d’analyse des équations différentielles de Poincaré et Lyapounov. Les travaux de Cartwright, Littlewood et Levinson sont intégrés à cet effort remarquable de synthèse. Par ailleurs, le recul de l’histoire sur cette époque conduit à pointer une rupture avec l’émergence de l’analyse globale : le changement n’est pas encore apparu comme extrêmement significatif, mais les développements des années 1960-70 montreront l’impact de cette perspective.

L’école Lefschetz a donc laissé une quantité énorme de résultats, pour l’étude analytique, géométrique, topologique et qualitative des systèmes dynamiques, dont une partie peut servir aux problèmes soulevés par des ingénieurs 949 . Nous avons opéré une sélection, conformément à notre projet d’éclairer le développement conceptuel des mathématiques des systèmes dynamiques, mais il convient de souligner deux absences surprenantes dans les thèmes abordés par le groupe de Lefschetz : le domaine des systèmes dynamiques conservatifs et la théorie des bifurcations. C’est dans un autre contexte, celui du "Courant Institute" à New York que ces problématiques s’épanouiront, dans les années 1960 seulement 950 . Certes le choix de l’optique des systèmes dissipatifs a pour effet de marginaliser les questions du conservatif, mais dans les réflexions d’Andronov ou de Levinson, cela ne suffisait pas à disqualifier ces résultats. Ceci est d’autant plus paradoxal que Birkhoff professe les mathématiques des systèmes dynamiques à Harvard, jusqu’à sa mort en 1944, alors que Lefschetz et ses collègues procèdent essentiellement sur la base des lectures des travaux soviétiques. Là encore, le fait que Birkhoff s’occupe de problèmes conservatifs doit être pris en compte mais ne suffit pas à tout expliquer. Il semble que les personnalités de Lefschetz et Birkhoff ne soient pas étrangères à cela. Pour reprendre Dahan : "ils ne s’aimaient pas" ; leurs centres d’intérêts, leurs cultures et leurs origines sont, en effet, assez opposés au point, peut-être, de négliger la contribution de Birkhoff jusque dans les années 1960 951 , lorsque les travaux de Moser (du Courant Institute) et LaSalle (un élève de Lefschetz), auxquels on peut ajouter Smale, revaloriseront ces travaux.

Notes
949.

Nous renvoyons à la liste un peu plus complète de [DAHAN-DALMEDICO, A., 1994].

950.

Dans ce cadre, les études des systèmes conservatifs sont privilégiées, cf. [DAHAN-DALMEDICO, A., 1994], p. 156.

951.

Lors du colloque organisé (par l’"école Lefschetz", en l’occurence Jack Hale et Joseph LaSalle) à l’Université de Puerto Rico en décembre 1965, Lefschetz fait un exposé intitulé "Geometric differential equations : recent past and proximate future". On peut considérer qu’il fait amende honorable, en signalant que Birkhoff, aux côtés de Poincaré et Lyapounov, a introduit des concepts "importants" ([HALE, J.K., LASALLE, J.P., 1967], p. 1) ; il consacre même une section de sa présentation à quelques résultats de Birkhoff (ibid., p.1-14).